Fisica

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GABARITO Exercícios da Relação de Equivalência (()

1. Demonstre, utilizando tabelas-verdade, as seguintes relações de equivalência:

a) p ( ( p ( q ) ( p (equivalentes)
b) p ( ( p ( q ) ( p (equivalentes)
c) ( p ( q ) ( ( p ( r ) ( p ( p ( r (não equivalentes)
d) p ( q ( ( p ( q ) ( ~( p ( q ) (equivalentes)

2. Negue em linguagem corrente as seguintes proposições:

a) Atléticoé alvi-verde e Coritiba é rubro-negro.
Atlético não é alvi-verde ou Coritiba é rubro-negro.

b) As vendas diminuem e os preços aumentam.
As vendas não diminuem ou os preços não aumentam.

c) É falso que está frio ou que está chovendo.
~~(p ( q) ( p ( q : Está frio ou está chovendo.

d) Se João passar em Física então se formará.
João passa em Física e não se forma.

e) Nãotenho carro e não tenho moto.
Tenho carro ou tenho moto.


3. Demonstre as relações abaixo utilizando as equivalências notáveis:

a) p ( q ( r ( ( p ( q ) ( ( p ( r )
p ( q ( r (
~p ( ( q ( r ) ( (reescrita da condicional)
(~p ( q) ( (~p ( r) ( (distributiva)
(p ( q) ( (p ( r) (reescrita da condicional)


b) p ( q ( r ( ( p ( q ) ( ( p ( r )
p ( q ( r (
~p ( ( q (r ) ( (reescrita da condicional)
~p ( q ( r ( (associativa)
~p ( ~p ( q ( r ( (idempotente, adicionei um ~p, pois ~p ( ~p ( ~p)
(~p ( q) ( (~p ( r ) ( (associativa)
(p ( q) ( (p ( r) (reescrita da condicional)


c) p ( ( r ( s ( t ) ( ( p ( r ) ( ( p ( s ) ( ( p ( t )
p ( ( r ( s ( t ) (
p ( ( r ( (s ( t)) ( (associativa em s ( t )
(p ( r) ( (p ( (s ( t)) ((distributiva)
(p ( r) ( (p ( s) ( (p ( t) (distributiva)


d) p ( q ( r ( p ( ( q ( r )
p ( q ( r (
~(p ( q) ( r ( (reescrita da condicional)
~p ( ~q ( r ( (De Morgan)
~p ( (~q ( r) ( (associativa)
~p ( ( q ( r) ( (reescrita da condicional)
p ( (q ( r) (reescrita da condicional)


e) ~( ~p ( ~q ) ( ~p ( q
~( ~p ( ~q ) (
~( ~~p ( ~q) ( (reescrita da condicional)~(p ( ~q) ( (dupla negação)
~p ( ~~q ( (De Morgan)
~p ( q (dupla negação)


4. Demonstre as leis de Morgan para três proposições:

a) ~( p ( q ( r ) ( ~p ( ~q ( ~r
~(p ( ( q ( r) ) ( (associativa)
~p ( ~(q ( r) ( (De Morgan)
~p ( ~q ( ~r (De Morgan)


b) ~( p ( q ( r ) ( ~p ( ~q ( ~r
~(p ( ( q ( r) ) ( (associativa)
~p ( ~(q ( r) ( (De Morgan)
~p ( ~q ( ~r(De Morgan)

5. Demonstre, utilizando as equivalências notáveis, que as relações de implicação são válidas:

a) Exemplo.: Regra da simplificação: p ( q ( q
Para provarmos uma relação de implicação temos que demonstrar que a condicional p ( q ( q é tautológica, ou seja, que a condicional p ( q ( q ( V
Desenvolvendo o lado esquerdo da equivalência, tem-se:
p ( q ( q ((aplicando-se a equiv. de reescrita da condicional)
~( p ( q ) ( q ( (aplicando-se a Lei de Morgan)
~p ( ~q ( q ( (aplicando-se lei complementar, ~q ( q é uma tautologia)
~p ( V ( (pela lei da identidade ~p ( V é um tautologia)
V Portanto, está provado que p ( q ( q é uma tautologia


b) Regra da adição: p ( p ( q
p ( p ( q ( V (devemos demonstrar que a relação de implicaçãoequivale a uma tautologia)
~p ( (p ( q) ( (condicional)
~p ( p ( q ( (associativa)
V ( q ( (complementares ~p ( p)
V (identidade)

c) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p ( q) ( ~q ( p
(p ( q) ( ~q ( p ( V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia)
(p ( ~q) ( (q ( ~q) ( p ( (distributiva)
(p ( ~q) ( F ( p ( (complementares)
(p ( ~q) ( p ((identidade)
~(p ( ~q) ( p ( (condicional)
~p ( ~q ( p ( (De Morgan)
(~p ( p) ( ~q ( (associativa)
V ( ~q ( (complementares)
V (identidade)


d) Regra de Modus Ponens: (p ( q) ( p ( q
(p ( q) ( p ( q ( V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia)
(~p ( q) ( q ( q ( (condicional)
(q ( ~p) ( (q ( q) ( q ( (distributiva)
(q ( ~p) ( q ( q...
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