fisica

4a e 5a Lista de Exercícios de Cálculo II
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Docente: Daniel Geraldini.

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Data do Seminário: 4 de junho de 2014.

EXERCÍCIOS
Exercício 1. Esboce o paraboloide elíptico
9y 2 + 16x2 = 144z.

Exercício 2. Esboce o Hiperboloide de uma folha
64x2 + 36y 2 − 144z 2 = 576.

Exercício 3. Esboce o paraboloide hiperbólico
9y 2 − 16x2 = 144z.

Exercício 4. Calcule as derivadas parciais (fx ) e (fy ) das seguintes funções:
1. f (x, y) =

x2 − y 2 x2 + y 2

2. f (x, y) = cos(x3 y) + sen (y 2 x)
3. f (x, y) = −ex

2 +y 2

+ 3xy

Exercício 5. Encontre o vetor Gradiente das funções do exercício anterior.
Exercício 6. Encontre a derivada direcional no ponto (1, 1) das funções:
√
1
3
1. f (x, y) = yx2 − xy 2 na direção u = i + j 2
2
√
1
3
2. f (x, y) = y sen πx + x cos πy na direção u = i − j 2
2
√
1
3
3. f (x, y) = y 2 ln x + x3 ln y na direção u = − i + j 2
2
√
3
1 x2 +y 2
4. f (x, y) = e na direção u = − i − j 2
2

1

Exercício 7. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções a seguir (utilizando o teste da segunda derivada).
1. f (x, y) = x2 + xy + y 2 + 3x − 3y + 4
2. f (x, y) = x2 − y 2 − 2x + 4y + 6

Exercício 8. Considere uma chapa quadrada de 2 m de lado. Um engenheiro aproximou uma fonte de calor ao centro da chapa, após 3 minutos, observou-se que a temperatura (C 0 ) sobre a chapa era dada por
T (x, y) =

70
70
+
+ 30,
2+1
(x − 1)
(y − 1)2 + 1

para 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2.
1. Qual é a temperatura no centro da chapa?
2. Qual é a taxa de varição de temperatura no ponto (1, 1/2), nas direçoes do eixo x e do eixo y ?
3. Qual √ a taxa de varição de temperatura no ponto (3/2, 1), na direção do vetor u = é 3
1
i− j? 2

2

4. Qual é a direção de maior crescimento de temperatura apartir do ponto (1/2, 1/2)? E a de maior decrescimento?

Exercício 9. Suponha que você esteja andando sobre um morro cujo formato é dado pela equação f (x, y) = 200 − 0,