fisica

Cap´ ıtulo 1

Conceitos B´sicos a 1.1

Introdu¸˜o ca Pretendemos neste cap´ ıtulo relembrar alguns conceitos b´sicos, que ir˜o facilitar a compreens˜o dos a a a m´todos num´ricos apresentados nos pr´ximos cap´ e e o ıtulos. A maioria dos conceitos aqui apresentados s˜o a de ´lgebra linear e isso se deve ao fato de que os resultados da ´lgebra linear, em geral, e da teoria a a dos espa¸os vetoriais, em particular, na an´lise num´rica ´ t˜o grande, que estudo pormenorizado desses c a e e a assuntos cada vez mais se justifica. Assim maiores detalhes sobre os assuntos aqui abordados podem ser encontrados em livros de ´lgebra linear. a Para iniciar vamos examinar dois conjuntos que certamente j´ s˜o conhecidos do leitor. O primeiro ´ a a e o conjunto dos vetores da geometria, definidos atrav´s de segmentos orientados, e o outro ´ o conjunto e e das matrizes reais m × n.
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A primeira vista pode parecer que tais conjuntos n˜o possuem nada em comum. Mas n˜o ´ bem assim a a e conforme mostraremos a seguir.
No conjunto dos vetores est´ definida uma adi¸˜o dotada das propriedades comutativa, associativa, a ca al´m da existˆncia do elemento neutro (vetor nulo) e do oposto. e e
Al´m disso, podemos multiplicar um vetor por um n´mero real. Essa multiplica¸˜o tem as seguintes e u ca propriedades (j´ certamente vista por vocˆ no seu curso): a e α(u + v) = αu + αv ,
(α + β)u = αu + βu ,
(αβ)u = (αβu) ,
1·u = u , onde u, v s˜o vetores e α, β s˜o escalares quaisquer. a a
No conjunto das matrizes tamb´m est´ definida uma adi¸˜o dotada tamb´m das propriedades associe a ca e ativa, comutativa, admite elemento neutro, a matriz nula, e toda matriz tem uma oposta.
Como vemos o comportamento do conjunto dos vetores e o das matrizes quanto ` adi¸˜o ´ o mesmo. a ca e
Mas n˜o param por a´ as coincidˆncias. a ı e Pode-se tamb´m multiplicar uma matriz por um n´mero real. Essa multiplica¸˜o apresenta as mesmas e u
ca