Fisica

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Um aro de raio R possui densidade constante λ, determinar
a) O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa do aro e é perpendicular ao plano do aro;
b) O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro do aro e está no plano que contém o aro;
3
R do eixo do
c) O momento de inércia em relação a um eixo que está a uma distância de
2
item (a).

Dados do problema
•
•

raio do aro: densidade do aro:

R;
λ.

Solução
a) O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa é dado por

∫r

I =

2

dm

(I)

Adotando-se um sistema de coordenadas polares, sendo e r e e θ os vetores unitários nas direções r e θ, e r o vetor que localiza um elemento de massa d m (figura 1), assim r = R er

a distância do elemento de massa ao eixo com relação ao qual se quer calcular o momento é r 2

= r ⋅r = R er ⋅R er = R 2

(II)

figura 1

O elemento linear de massa é dado por dm ds dm = λ ds λ= (III)

onde d s é um elemento de arco do aro dado por ds = R d θ

(IV)

dm =λR dθ

(V)

substituindo (IV) em (III)

substituindo (II) e (V) em (I), temos figura 2

I=

∫R

2

λ R dθ

como R e λ são constantes eles “saem” da integral e integrando d θ entre 0 e 2π, obtemos

1

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2π

I =λR

3

∫d θ
0

3

I =λR θ

2π
0

I = λ R 3 (2π − 0 )

I = 2π λ R 3

(VI)

A densidade linear de massa λ será a massa total M dividida pelo comprimento da circunferência C = 2 π R λ= M
2π R

(VII)

substituindo (VII) em (VI), temos
I = 2π

M
R3
2π R

I =M R2

b) Para calcular o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro do aro e está no plano que contém o aro, usamos o Teorema dos Eixos
Perpendiculares. Se o aro estiver girando em torno do eixo-y (figura 3) todos os eixos no plano-xy são diâmetros do aro, assim são todos equivalentes e temos em particular que
Ix = Iy