Fisica aplicada engenharia

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Li¸oes nos 33 e 34: Derivada direccional e gradiente. c˜ Taxa de varia¸˜o m´xima, m´ ca a ınima e nula1
Nesta li¸ao vamos generalizar a no¸ao de derivada parcial de uma fun¸ao c˜ c˜ c˜ f num dado ponto (a, b), introduzindo a chamada a derivada direccional fu (a, b), que mais n˜o ´ que a taxa de varia¸ao de f segundo u, u = 1. a e c˜ Em seguida investigaremos as direc¸oes segundo as quais estataxa ´ m´xima, c˜ e a m´ ınima ou nula. Defini¸ao 1 Consideremos uma fun¸ao f : D f ⊂ R2 → R, Df um conc˜ c˜ junto aberto, e um ponto (a, b) ∈ Df . Chama-se gradiente de f em (a, b) e representa-se por grad f (a, b) ou f (a, b) ao vector das suas derivadas parciais em (a, b), grad f (a, b) = fx (a, b), fy (a, b) . Note que grad f (a, b) = Exemplos a Seja f (x, y) = e2x−3y . Ent˜o grad f (x, y) =(2e2x−3y , −3e2x−3y ). Em particular, teremos grad f (1, 0) = 2e2−0 , −3e2−0 = 2e2 , −3e2 . Vamos agora generalizar a no¸ao de derivada parcial. c˜ Defini¸ao 2 Seja f for uma fun¸ao diferenci´vel em (a, b) e u um vector c˜ c˜ a unit´rio, i.e., u = 1. Definimos a derivada direccional de f no ponto (a, b) a denotada por fu (a, b), fu (a, b) = grad f (a, b) · u. fx (a, b) fy (a, b) = fx (a, b) fy (a, b)
T= f (a, b)T .

Exemplo Pretende-se calcular para a fun¸ao f (x, y) = xe y , c˜ f
√ √ 5 2 5 , 5 5

(2, 3).

Uma vez que f ∈ C 1 (R2 ) (fx = ey e fy = xey s˜o fun¸oes cont´ a c˜ ınuas em R2 ) ´ diferenci´vel em R2 e em particular ´ diferenci´vel no ponto (2, 3). Assim, e a e a √ √ 5 2 5 √ √ f 5 2 5 (2, 3) = grad f (2, 3) · , , 5 5 5 5 √ √ 5 2 5 = (e3 , 2e3 ) · , 5 5 √ √ 5 3 2 5 3 = e + 2e5 5 √ 3 = 5e .
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Adaptadas das folhas de apoio da disciplina de An´lise Matem´tica II. a a

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Importa fazer algumas observa¸oes importantes relacionadas com a no¸ao c˜ c˜ de derivada direccional. Observa¸oes: c˜ 1. As derivadas parciais s˜o casos particulares das derivadas direccionais: a fx (a, b) = f(1,0) (a, b) e fy (a, b) = f(0,1) (a, b).

2. Assim como as derivadas parciais f x(a, b) e fy (a, b) podem ser interpretadas como as taxas de varia¸ao de f no ponto (a, b) ao longo do c˜ eixo dos xx e do eixo dos yy, respectivamente, tamb´m a derivada e direccional fu (a, b) pode ser interpretada como a taxa de varia¸ao de c˜ f no ponto (a, b) na direc¸ao de u. c˜
z

z = f (a + λu1 , b + λu2 )

b a
2 (u1 , u

y

)

z = f (x, y) x

3. Se n˜o exigirmos que u = 1, aderivada direccional n˜o fica definida a a de maneira unica (vai depender tamb´m da norma de u e n˜o podemos ´ e a interpret´-la como a taxa de varia¸ao da fun¸ao na direc¸ao de u). a c˜ c˜ c˜ 4. Tamb´m se pode definr a derivada direccional de f em (a, b) segundo e o vector u ( u = 1), para fun¸oes que n˜o s˜o diferenci´veis em (a, b) c˜ a a a por fu (a, b) = lim f (a + λu1 , b + λu2 ) − f (a, b) λ→0λ (se o limite existir!)

(comparar com a defini¸ao de derivada parcial). Neste curso por´m, c˜ e apenas vamos considerar derivadas direccionais em pontos de diferenciabilidade de f .

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Exemplo Qual ´ taxa de varia¸ao de f (x, y) = e 2x−3y no ponto (1, 0) segundo a e c˜ direc¸ao da recta y = x − 1? Ora esta recta admite o vector director c˜ (1, 1), por exemplo. Normalizamos este vectortomando o seu versor 2 , √ √ (1,1) u = vers(1, 1) = (1,1) = 22 , 22
y y =x−1

u x 1

Assim, a taxa de varia¸ao de f (x, y) = e 2x−3y no ponto (1, 0) segundo a c˜ direc¸ao da recta y = x − 1 ´ c˜ e fu (1, 0) = grad f (1, 0) ·
√ √ 2 2 2 , 2

= 2e2 , −3e2 ·

√ √ 2 2 2 , 2

=−

√ 2 2 2 e .

Como vimos anteriormente as derivadas direccionais podem ser interpretadas como a taxa de varia¸aoda fun¸ao na direc¸ao e sentido do vector em c˜ c˜ c˜ ´ natural questionar qual o vector segundo o qual a que s˜o calculadas. E a taxa de varia¸ao ´ m´xima, m´nima e nula. c˜ e a ı Para isso vamos come¸ar por recordar a f´rmula do produto interno de c o 2 : se v = (v , v ) e w = (w , w ) s˜o dois vectores de R2 dois vectores em R a 1 2 1 2 temos v · w = v1 w1 + v2 w2 = v w cos(θ), onde θ denota...
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