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Parábola
        No caso da parábola temos e = 1 e a equação (3) reduz-se a:
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Seja O o ponto de coordenadas   , realizando uma translação de eixos coordenados de modo que O passe a ser a origem, obtemos um novo sistema de coordenadas cartesianas xy em que valem as seguintes relações entre as coordenadas dos dois sistemas:

No sistema de coordenadas   a equação cartesiana daparábola toma a forma
  | (4) |

chamada equação reduzida da parábola (com eixo de simetria igual ao eixo x).
Numa parábola arbitrária temos os seguintes elementos:
* foco: o ponto F;
* diretriz: a reta d;
* corda principal: segmento paralelo à diretriz, passando por F e com extremidades nos pontos  R e S da parábola;
* eixo de simetria: a reta r perpendicular à diretrizpassando pelo ponto F;
* vértice: o ponto V de interseção do eixo de simetria com a parábola.

        Obtemos a equação reduzida da parábola de forma mais direta mediante a escolha do seguinte sistema de coordenadas para o plano (metodologia usual):
* eixo x: reta perpendicular à diretriz d passando por F;
* eixo y: mediatriz do segmento FD, em que D é a interseção do eixo x com areta  d.
Fazendo FD = 2p temos d: x + p = 0 ,  e um ponto  está na parábola se, e somente se,
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o que fornece a equação
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Elipse I
        A elipse possui excentricidade e, com 0 < e < 1, logo,  (1-e2) > 0. Dividindo a equação das cônicas (3) por  (1-e2) obtemos:
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E, completando os quadrados obtemos, após simplificação,
|     |

Dividindomembro a membro por temos a equação cartesiana:
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Seja O o ponto de coordenadas   . Realizando uma translação de eixos coordenados de modo que O passe a ser a origem, obtemos um sistema de coordenadas xy, em que

Fazendo    e podemos reescrever a equação da elipse com focos sobre o eixo x na forma reduzida
| (5) |
Sendo temos e, portanto, . 
Observação 4.1   O número a ésempre denominador na fração onde aparece a variável do eixo contendo o foco. Assim, se o eixo y for perpendicular à diretriz passando por F a equação da elipse é da forma
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Fazendo e , se e são pontos do eixo tais que , e é a reta perpendicular ao eixo passando por , então o ponto e a reta constituem um outro foco e uma outra diretriz para a elipse. De fato, um ponto pertence à elipse se,e somente se, o ponto simétrico de em relação ao eixo , também pertence. Logo, para e temos:
, |     |
o que prova a afirmação.
Da construção do sistema de eixos coordenados temos as seguintes igualdades:

Usando os valores de e e fazendo obtemos:

Resumindo temos:
1. A elipse é uma cônica de dois focos e duas diretrizes;
2. Se o sistema de eixos coordenados é tal que: os focosestão sobre o eixo x e a equação cartesiana da elipse de diretriz  , foco  e excentricidade e é
|     |
3.
então as coordenadas do foco são   e   , com   . Logo, a excentricidade satisfaz  
4. As equações das diretrizes são   e   .
5. A elipse representativa de (5) é uma curva simétrica em relação aos eixos, fechada e contida no retângulo cujos lados estão contidos nas retas e  .
Numa elipse arbitrária temos os seguintes elementos:
* foco: os pontos  e  ;
* vértices  e  interseção da elipse com a reta passando pelos focos  e  ;
* vértices  e  interseção da elipse com a mediatriz do segmento   ;
* eixo maior : segmento   de medida  ;
* eixo menor : segmento   de medida  ;
* distância focal: distância entre os focos   ;
* cordaprincipal: segmento paralelo ao segmento   passando por um dos focos, com extremidades em pontos R e S da elipse;
* centro O: interseção dos segmentos   e   ;
* excentricidade:
* diretrizes: retas  e  perpendiculares à reta focal e a uma distância   do centro.
A excentricidade de uma elipse satisfaz , e no limite, isto é, quando temos e a excentricidade se anula. Neste caso, a...
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