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Notas de Aula / MAT. II / 1ª SÉRIE / 3º Bimestre de 2012 / Professor Robson Coelho Neves


Razões Trigonométricas de Somas e Diferenças de Arcos






















cos(a+b) = cosa.cosb – sena.senb


Demonstração: Acompanhe pela figura acima.
[pic]

OBS.:

[pic]

Exercício 1) Obtenha
[pic]

[pic]
[pic]

[pic]
[pic]




II) cos(a – b) = cosa.cosb+ sena.senb

Demonstração:
[pic]
OBS.:

[pic]

III) sen(a + b) = sena.cosb + cosa.senb

Demonstração:
[pic]



IV) sen(a - b) = sena.cosb - cosa.senb

Demonstração:
[pic]
OBS.:
[pic]



V)[pic]

Demonstração:
[pic]

VI)[pic]

Demonstração:
[pic]
OBS.:
[pic]


Exercícios:
Se tgA=2 e tgB=1, obtenha cotg(A-B).
2) Calcule o valor da expressão [pic]
3) Dados[pic] calcule:
[pic]

4) Obtenha o máximo e o mínimo, caso existam, das expressões abaixo:
a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic]

e) [pic] f) [pic]
5) Sendo [pic] ,[pic] , calcule sen(2x).
6) Calcule sem(2x) sabendo que tgx+cotgx=3.
7) Sendo[pic] calcule cos(2x).
8) Sendo[pic] , calcule:
a) [pic] b) [pic]
9) Sendo[pic] , calcule tg(2x).
10) Sendo[pic], calcule cos(3x).
11) Sendo[pic] , sem(3x).
12) Sendo[pic] , calcule tg(3x).
13) Calcule [pic]
14) Sendo[pic] , calcule sem(2a)=cos(2a).
15) Se a e b são ângulos positivos inferiores a 180º, calcule sem(2a) e cos(2b), sabendo que [pic]
16) A igualdade [pic] é válida para todo [pic] Determine a e b.
17) Se [pic] , calcule [pic]
18) Sendo[pic] , determine [pic]






Fatoração dasoma e diferença de dois senos, cossenos e tangentes. A primeira (VII) será demonstrada em sala.

[pic]

Exemplo: Podemos aplicar o resultado VII para encontrar o mínino e o máximo da soma senx+cosx, coisa que já fizemos usando seno e cosseno da soma de dois arcos. Acompanhe:
[pic]

Exercícios:
1) Fatore as expressões que seguem:
a) sen5x + sen3x b) cos3x + cosx c) sen7a + sen5a –sen3a – sena d) cos9a + cos5a – cos3a – cosa
e) sena + senb + senc –sen(a+b+c) f)1 + sen2x g) 1+cosa + cos2a h) sena + 2.sen3a + sen5a
i) cos2x – sen2x j) cos23x – cos2x

2) Calcular os valores numéricos das expressões que seguem:
[pic]

Resolução de Equações Trigonométricas Básicas

I) [pic]
Exemplo: Resolva em R, a equação [pic] em R.
Solução
Recorrendo ao ciclotrigonométrico, é fácil ver que x ou é congruente a[pic] ou é congruente a [pic] Assim, o conjunto solução da equação é
[pic]
Observe que o conjunto solução muda quando alteramos o conjunto universo. Por exemplo, obtenha o conjunto solução da equação dada no universo [pic]

Generalizando, a solução da equação básica [pic], em R é: [pic] .

Exercícios:
1) Resolva, em R, as equações queseguem
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
h) [pic]

i) [pic]
j) [pic]
k) [pic]

Resova as equações e, f, g e h, no universo [pic]


II) [pic]
Exemplo: Resolva em R, a equação [pic] em R.
Solução
Como [pic], recorrendo ao ciclo trigonométrico, é fácil ver que x ou é congruente a[pic] ou é congruente a[pic] Assim, o conjunto solução da equação é[pic]

Generalizando, a solução da equação básica [pic], em R é: [pic] .

Exercícios:
1) Resolva, em R, as equações que seguem
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
h) [pic]

i) [pic]
j) [pic]
k) [pic]

Resova as equações i, j e k, no universo [pic]



III) [pic]
Exemplo: Resolva em R, a equação [pic] em R.
Solução
Como [pic],recorrendo ao ciclo trigonométrico, é fácil ver que x ou é congruente a[pic] ou é congruente a[pic] Assim, o conjunto solução da equação é
[pic]

Generalizando, a solução da equação básica [pic], em R é: [pic] .


Exercícios:
1) Resolva, em R, as equações que seguem
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
h) [pic]

i) [pic]
j) [pic]
k) [pic]
l) [pic]
m)...
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