Exercício de cálculo

a) Levando-se em conta que o preço é expresso pela função ‘p(x)’ e a quantidade do produto por ‘x’, temos que:

E(x) = p(x).x

Tendo em vista que a função do preço é expressa por p(x) = D(x), temos:

E(x) = D(x).x

Substituindo D(x) por sua equação de função, temos:

E(x) = (-50x +800).x
E(x) = -50x2 + 800x

Resposta: a função que representa o gasto dos consumidores em função de x é E(x) = -50x2 + 800x.

Para traçar o gráfico de E(x) = -50x2 + 800x, primeiramente precisamos achar as raízes do gráfico:

-50x2 + 800x = 0

Colocando ‘50x’ em evidência, temos:

50x (-x + 800) = 0

50 x = 0 x = 0

-x + 800 = 0 x= 16
Logo, as raízes da função são 0 e 16. Haja vista que o elemento ‘a’ da função é ‘-50x2’, verifica-se que a concavidade da função é para baixo, pois ‘a’ é negativo. Segue abaixo o gráfico da função:

b) Para que possamos determinar a quantidade de produção cujo gasto dos consumidores é máximo, precisamos encontrar o X do vértice. Sabemos que a função dos gastos é representada por:

E(x) = -50x2 + 800x

Já o X do vértice é dado por:

Na função E(x), verifica-se que ‘b’ é igual a 800 e ‘a’ é igual a -50. Assim, temos:

Precisamos substituir a quantidade máxima ‘8’ na equação E(x) para encontrar ao gasto máximo do consumidor. Temos, portanto:

E(x) = -50x2 + 800x
E(8) = -50.82 + 800.8
E(8) = -50.64 +6400
E(8) = -3200 + 6400
E(8) = 3200

Resposta: Conforme se verifica no gráfico, a quantidade de produção cujo gasto dos consumidores é máximo é quando são comprados 8 produtos. Já o preço máximo, neste caso, é de R$ 3.200,00 (três mil e duzentos reais).