Exercicios sobre logica versao 20102

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS Matemática para Computação Prof. Rodrigo Orsini Braga

Mais Exercícios de Lógica de Proposições
1) Descreva as sentenças abaixo em termos de proposições simples e operadores lógicos: Exemplo: Se 1>2 então qualquer coisa é possível. p: 1>2 q: qualquer coisa é possível frase: p → q (a) (b) (c) (d) (e) 2) É falso que 2 + 3 = 5 e 1 + 1 = 3. Se 1 + 2 = 5, então3 + 3 = 6. Não é verdade que 3 + 3 ≠ 6 ou 7 – 2 ≠ 8. É falso que, se Lisboa é a capital da França, então Brasília é a capital da Argentina. Se é falso que Lisboa é a capital da França, então Brasília é a capital da Argentina.

Determine o valor lógico (V ou F) das proposições enunciadas no exercício anterior. Justifique. Exemplo: Se 1>2 então qualquer coisa é possível. Verdadeira, pois é falsoque 1>2.

Dada uma proposição da forma p → q , a proposição q → p é chamada de recíproca e a proposição ¬ q → ¬ p , de contrapositiva da proposição dada. 3) Escreva a recíproca e a contrapositiva de cada uma das proposições abaixo: (a) (b) (c) (d) 4) Se a lua está cheia, os vampiros saem de casa à noite. Se uma girafa tem dor de garganta, ela não faz gargarejo. Vou morar na lua, se láconstruírem uma estação espacial. Se uma proposição é uma definição, então sua recíproca é verdadeira.

Determine os valores lógicos da recíproca e da contrapositiva de cada uma das proposições abaixo: (a) Se T é um triângulo equilátero, então T é isósceles. 2 (b) Se x é ímpar, então x é ímpar.

5)

Considerando p e q proposições verdadeiras, e r e s proposições falsas, determine o valor lógico dasproposições abaixo:

r ∧ ¬ s) ∨ ( p → q )) ↔ ( r ∨ ¬ q ) (b) (( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( ¬ p ∧ q ) ∨ ( ¬ ( p ∧ ¬ q ))) → ( r ∨ s)
(a) 6) Verifique a validade das equivalências abaixo construindo as tabelas-verdade das proposições que lhes dão origem. (a) ( p ∨ q ) → r ⇔ ( p → r ) ∧ ( q → r ) 7) (b) ( p → (q → r )) ⇔ (( p ∧ q) → r )

( (¬

Quais das proposições abaixo são tautologias(verdadeiras), quais são contradições (logicamente falsas) e quais não são nem tautologias nem contradições? (a) (p∧q)∨(¬p∧¬q) (c) p→(q→p) (b) ¬(p∧¬p) (d) (p∨q) →((p∧q) ∨(p∧¬q) ∨(¬p∧q))

8)

Simplificar as seguintes proposições: (a) ¬ p∨¬q (b) ¬¬ p∧q (c) ¬¬ p∨¬q

Respostas
1) (a) p: 2 + 3 = 5 q: 1 + 1 = 3 (b) p: 1 + 2 = 5 q: 3 + 3 = 6 (c) p: 3 + 3 ≠ 6 q: 7 – 2 ≠ 8 (d) p: Lisboa é a capital daFrança q: Brasília é a capital da Argentina (e) p: Lisboa é a capital da França q: Brasília é a capital da Argentina 2) (a) Verdadeira, pois a proposição (b) Verdadeira, pois p é falsa. (c) Falsa, pois frase: frase: frase: frase:

¬ p∧q pq ¬ p∨q

¬ p q

frase: ¬ p q

p∧q é falsa, uma vez que 1 + 1 ≠ 3.

p∨q é verdadeira, visto que q é verdadeira. p  q é verdadeira, visto que pé falsa.

(d) Falsa, pois a proposição

(e) Falsa, pois ¬ p é verdadeira e q é falsa.

3) (a) recíproca: Se os vampiros saem de casa à noite, então a lua está cheia. contrapositiva: Se os vampiros não saem de casa à noite, então a lua não está cheia. (b) recíproca: Se uma girafa não faz gargarejo, então ela tem dor de garganta. contrapositiva: Se uma girafa faz gargarejo, então ela não temdor de garganta. (c) recíproca: Se eu for morar na lua, então vão construir uma estação espacial lá. contrapositiva: Se eu não for morar na lua, então é porque lá não construíram uma estação espacial.

(d) recíproca: Se a recíproca de uma proposição é verdadeira, então ela é uma definição. contrapositiva: Se a recíproca de uma proposição não é verdadeira, então ela não é uma definição. 4) a) b)5) (a) p V q V r F s F A contrapositiva é verdadeira e a recíproca é falsa. A contrapositiva é verdadeira e a recíproca verdadeira também.

¬ r
V

¬ s
V

¬ r ∧ ¬ s V

p→ q

(¬ r ∧ ¬ s ) ∨ ( p → q )

V
( ( ¬ r ∧ ¬ s ) ∨ ( p → q) ) ↔

V

¬ q
F (b) p V q V r F s F

r ∨ ¬ q
F

(r ∨

¬ q)

F

¬ p
F

¬ q
F

p∧ q V

p∧ ¬q F

¬ p∧ q F
r∨ s

¬ (p ∧ ¬ q) V

(...
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