Exercicios resolvidos ga

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GEOMETRIA ANALÍTICA – CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO, VETORES E OPERAÇÕES
Exercícios Resolvidos
1) Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então :
a) m é um número primo
b) m é primo e par
c) m é um quadrado perfeito
d) m = 0
e) m < 4
Solução: 
Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , então a sua abscissa é nula. 
Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4e portanto a alternativa correta é a letra C, pois 4 é um quadrado perfeito (4 = 22).
2) Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que :
a) r é um número natural
b) r = - 3
c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0
d) r é um número inteiro menor do que - 3 .
e) não existe r nestas condições .
Solução: 
Os pontos da primeira bissetriz (reta y =x), possuem abscissa e ordenada iguais entre si. Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2. 
Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta é a letra C, uma vez que -2 é raiz da equação dada. Basta substituir  x  por   -2  ou seja:
(-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que   -2 é raiz da equação.
3) Se o ponto P(k , -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0, então o valor de k 2 é :
a) 200
b) 196
c) 144
d) 36
e) 0
Solução: 
Fazendo x = k e y = -2 na relação dada, vem: k + 2(-2) - 10 = 0. 
Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 = 196. 
Logo, a alternativa correta é a letra B.
2 - Fórmula da distância entre dois pontos do plano cartesiano

Dados dois pontos do plano A(Xa,Ya) e B(Xb,Yb) , deduz-se facilmente usando o teorema de Pitágoras aseguinte fórmula da distancia entre os pontos A e B:

Esta fórmula também pode ser escrita como: d2AB = (Xb - Xa)2 + (Yb - Ya)2 , obtida da anterior, elevando-se ao quadrado (quadrando-se) ambos os membros.
Exercício Resolvido
O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestascondições podemos afirmar que o ponto A é :
a) (3,0)
b) (0, -1)
c) (0,4)
d) (0,5)
e) (0, 3)
Solução: 
Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado que seopõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y) , já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:
AB2 = ( 0 - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 4 + ( y - 3 )2
AC2 = ( 0 - (-4))2 + ( y - 1)2 = 16 + ( y - 1 )2
BC2 = ( 2 - (-4))2 + ( 3 - 1 )2 = 40
Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )2 + 16 + ( y -1 )2 = 40 \ ( y - 3 )2 + ( y - 1)2 = 40 - 4 - 16 = 20
Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 \ 2y2 - 8y - 10 = 0 \ y2 - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo . Portanto, o ponto procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D.
3 - Pontomédio de um segmento

Dado o segmento de reta AB , o ponto médio de AB é o ponto M Î AB tal que AM = BM . 
Nestas condições, dados os pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) , as coordenadas do ponto médio 
M(xm , ym) serão dadas por:

Exercício Resolvido
Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é igual a:
a) 25
b) 32
c) 34d) 44
e) 16
Solução: 
Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto médio de BC. Das fórmulas de ponto médio anteriores, concluímos que o ponto médio de BC será o ponto M( 3, 5). Portanto, o comprimento da mediana procurado será a...
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