Exercicios para treino

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Universidade Gama Filho
Pró-Reitoria de Ciências Exatas e Tecnologia

MAT254 – Álgebra Linear Caderno de Exercícios

Aline Simas alinesimas@gmail.com Gabriela Félix gabriela@impa.br Giselia Clarice giseliaclarice@hotmail.com

Simone Dutra
simone_dutra@oi.com.br

Sueli Cunha
suelicunha@ugf.br

2008/2

ii

ÍNDICE

PREFÁCIO........................................................i 1. MATRIZES (Revisão)............................................1 2. MATRIZES ESCALONADAS, ESCALONAMENTO DE MATRIZES E POSTO DE UMA MATRIZ ..........................................................2 3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ................................3 4. ESPAÇOS VETORIAIS ............................................6 5. COMBINAÇÃO LINEAR E SUBESPAÇO GERADO.........................8 6. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ...........................9 7. BASES E DIMENSÃO ............................................10 ANEXO A. RESPOSTAS DE EXERCÍCIOS SELECIONADOS...................11 A.1 Seção 1 .................................................11 A.2 Seção 2 .................................................12 A.3 Seção 3 .................................................13 A.4Seção 4 .................................................14 A.5 Seção 5 .................................................14 A.6 Seção 6 .................................................14 A.7 Seção 7 .................................................15

PREFÁCIO Esta apostila contém uma lista (não exaustiva) de exercícios que cobre as primeiras unidades da ementa da disciplina MAT254 – ÁlgebraLinear, ministrada no Curso de Licenciatura de Matemática e no ciclo de básico dos cursos de de Engenharia bem (Civil, em Elétrica, cursos o de

Mecânica,

Petróleo, Os

Produção), são

como em

Tecnólogos. abordado.

exercícios

agrupados

segundo

tema

Este documento possui então 7 seções e 1 anexo, onde: Na Seção 1, são propostos exercícios de revisão sobre matrizes; ASeção 2 contém exercícios de escalonamento de matrizes e determinação do posto de uma matriz; A Seção3 trata de sistemas de equações lineares: resolução e estudo da variação de parâmetros; A Seção 4 aborda o tema espaços e subespaços vetoriais; Na Seção 5, são propostos exercícios sobre combinação

linear e subespaço gerado; A Seção 6 contém exercícios sobre dependência e

independência linear ASeção 7 trata sobre bases e dimensão de um espaço

vetorial; Finalmente, o Anexo A contém resposta de alguns exercícios do caderno.

ii

1. MATRIZES (Revisão) 1) Calcule, quando for definida, as operações abaixo ou indique porque a operação não é definida: a) 1 0 2 5 3 4 1 1 2 3
+

3 2 1 4 ,

5 0 B

6 2 1 0

1 3 2 1 3 5

b)

1 0 C

2 4 0 1

3 1 1 1
+

3 1 2 1 .

5 22) Sejam A

5 0

e

Calcule 3A + 4B - 2C. 3) Encontre x, y, z e w, considerando 3 x y z w x 6 z (r 4 w x 3 y .

1 2w por

4) Representando

× s) uma matriz de dimensão r × s,

encontre a forma dos produtos abaixo, caso seja definido: a) (2 × 3)(3 × 4) d) (5 × 2)(2 × 3) 5) Sejam A 1 2 3 1 e B b) (4 × 1)(1 × 2) e) (3 × 4)(2 × 4) 2 3 0 2 4 6 c) (1 × 2)(3 × 1) f) (2 × 2)(2 × 4)

.Calcule AB e BA. 1 4 2 5 0 3
1

6) Dadas as matrizes A

2 1 e B

, encontre AB e BA.

7) Sejam A

1 2 2 1

3 1

, B

2 0 1 3 0 1

, C

2 4

e D

2

1 .

Encontre: a) A + B b) AC c) BC d) CD e) -A f) -D

8) Calcule x, y, z e w, considerando x y z w 2 3 3 4 1 0 0 1
1 0 1 0

9) Encontre a transposta At da matriz A

2 3 4 5 . 4 4 4 4

1

10)

Seja A
2x

2 1x2 0

.

Considerando

At = A, calcule o valor

de x. 11) 12) Dada a matriz A Considere uma 1 3 matriz 2 0 1 4 Am×n , calcule AAt e AtA. qualquer. Sob quais condições o

produto AAt é definido? E o produto AtA? 13) Se A é uma matriz triangular superior então At é

________________. 14) 15) Se A é uma matriz diagonal então At é ________________. Uma matriz diagonal é igualmente uma...
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