Estudo dirigido planos

EETI – Escola de
Engenharia e TI
Disciplina:
Curso:
Professor (a):

GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear
Engenharias
Lourena Cruz

Estudo Dirigido
Esta apostila é para direcionar o estudo de Equações de Planos e Posição relativa entre Planos. Com base nele faremos a atividade em dupla da primeira unidade, que será um estudo dirigido sendo avaliado em sala com uma atividade escrita em dupla, valendo 2 pontos.

DETERMINAÇÃO: O plano pode ser determinado por:
• Por três pontos não alinhados passa um único plano.
• Por uma reta e um ponto não pertencente à reta, passa um único plano.
• Por duas retas paralelas (não coincidentes) passa um único plano.
• Por duas retas concorrentes passa um único plano.
Equação vetorial
Seja o plano π determinado pelos pontos A , B e C não colineares. Temos que os vetores AB e AC não são paralelos.
Um ponto P pertence ao plano π se e somente se o vetor AP é coplanar com os vetores AB e AC.

Obs: Três vetores u , v e w são coplanares se e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear dos outros. Daí, temos:

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + ℎ𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑡, ℎ ∈ 𝑅
𝐴𝑃

→

⃗⃗⃗⃗⃗ + ℎ𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑡, ℎ ∈ 𝑅
P-A= 𝑡𝐴𝐵

→

⃗⃗⃗⃗⃗ + ℎ𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑡, ℎ ∈ 𝑅
𝑃 = 𝐴 + 𝑡𝐴𝐵
Onde P é qualquer ponto do plano os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 𝑒 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 são vetores não paralelos que tenham representantes no plano.
Obs.: Os vetores usados são chamados de vetores diretores do plano.
Logo a equação vetorial de um Plano que passa pelo ponto A e é paralelo aos vetores 𝑢
⃗ 𝑒 𝑣 é dada por:
𝑃 = 𝐴 + 𝑡𝑢
⃗ + ℎ𝑣 ; 𝑡, ℎ ∈ 𝑅
Exemplo: Dados os pontos A(1,5,3), B(4,7,5) e C(-2,4,-3) dê a equação vetorial do plano que passa pelos pontos A, B e
C.
Precisamos de um ponto qualquer do plano e dois vetores pode ser ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (3,2,2) 𝑒 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = 𝐶 − 𝐴 =
(−3, −1, −6).

⃗⃗⃗⃗⃗ + ℎ𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑡, ℎ ∈ 𝑅 → 𝑃 = (1,5,3) + 𝑡(3,2,2) + ℎ(−3, −1, −6); 𝑡, ℎ ∈ 𝑅
P= A + 𝑡𝐴𝐵
Equações paramétricas
Sejam os vetores u = (a1,b1,c1) e v = (a2,