Estudo das Cônicas

Estudo das Cônicas

As Seções Cônicas
Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não-perpendiculares. Conservemos fixa a reta e e façamos g girar 360 graus em torno de e mantendo constante o ângulo entre estas retas. Nestas condições, a reta g gera uma superfície cônica circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vértice O (Figura 1.1)
A reta g é chamada geratriz da superfície cônica e a reta e, eixo da superfície.
Chama-se seção cônica, ou simplesmente cônica, ao conjunto de pontos que formam a interseção de um plano com a superfície cônica.
Quando uma superfície cônica é seccionada por um plano π qualquer que não passa pelo vértice O, a cônica será:
a) uma parábola, se π for paralelo a uma geratriz da superfície (Figura 1.2(a)) Figura 1.1
b) uma elipse, se π não for paralelo a uma geratriz e intercepta apenas umas das folhas da superfície (Figura 1.2(b)) (ou uma circunferência, se π for perpendicular ao eixo).
c) uma hipérbole, se π não é paralelo a uma geratriz e intercepta as duas folhas da superfície (Figura 1.2(c)). A hipérbole deve ser vista como uma curva só, constituída de dois ramos, um em cada folha da superfície.

Figura 1.2

Parábola
Definição
Parábola é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo e de uma reta fixa desse plano. Consideremos uma reta d e um ponto F não pertence a d. Na Figura 1.3 estão assinalados cinco pontos (P1, P2, V, P3 E P) que são equidistantes do ponto F e da reta d.
Então, um ponto P qualquer pertencente à parábola, se e somente se, d(P,F) = d(P,d) ou, de modo equivalente d(P,F) = d(P, P') Figura 1.3 onde P é o pé da perpendicular baixada de P sobre a reta d.

Elementos
Pela Figura 1.3, tem-se: Foco: é o ponto F. Diretriz: é a reta d. Eixo: é a reta e que passa por F e é perpendicular a d. É fácil ver pela própria definição de parábola que esta curva é simétrica em relação ao seu eixo. Vértice: é o ponto V de