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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Departamento de Computação

José Álvaro Tadeu Ferreira

Cálculo Numérico – Notas de aulas

Resolução de Equações Não Lineares

Ouro Preto 2009

Depto de Computação – Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – Universidade Federal de Ouro Preto

Resolução de equações não lineares
1 - Introdução A necessidade de determinar valores x =  que satisfaçam a uma equação da forma f(x) = 0 ocorre com bastante freqüência em uma grande variedade de problemas provenientes das Ciências e das Engenharias. Estes valores são chamados de raízes da equação f(x) = 0 ou os zeros da função y = f(x). Geometricamente, conforme mostra a Figura 1.1, estes valores são os pontos de interseção do gráfico de y = f(x) com o eixo Ox.

Figura 1.1: Raízes de uma equação

Se y = f(x) é um polinômio quadrático, cúbico ou biquadrado, então os seus zeros podem ser determinados por meio de processos algébricos. Contudo, para polinômios de grau superior, estes processos não existem, é necessário, então, utilizar métodos numéricos. Também se faz necessária a utilização de métodos numéricos quando y = f(x) é uma função transcendente, para as quais não existe método geral para obter os seus zeros. Por meio de métodos numéricos, é possível obter uma solução aproximada, em alguns casos, tão próxima da solução exata, quanto se deseje. Faz-se necessário, então definir o que é uma solução aproximada.

Notas de aulas de Cálculo Numérico – Resolução de Equações Não Lineares

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1.1 - Raiz aproximada Sendo ε uma precisão desejada, diz-se que um valor xk é uma aproximação para uma raiz ξ de uma equação f(x) = 0 se satisfizer as condições a seguir. (i) |f(xk)| < ε (ii) |xk − ξ| < ε Conforme mostrado nas figuras 1.2.a e 1.2.b, estas duas condições não são equivalentes.

Figura 1.2.a

Figura 1.2.b

A figura