Estudante

UNIDADE III

Limites

Prof. Hiroshi Ouchi

12. Limite de uma função
Dada uma função y = ƒ(x), podemos investigar o seu comportamento para valores de x próximos de um valor a, no qual ƒ(x) pode ou não estar definida. O que importa é como a função está definida próximo de a, quando x assume valores xE aproximando-se de a pela esquerda e, xD, aproximando-se de a pela direita.

y

ƒ(xD)

L

ƒ(xE)

0 xE a xD x

Definição: O limite de ƒ(x) é igual a L, quando x tende a a, se pudermos tomar os valores de ƒ(x) tão próximos de L quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de a, porém diferente de a.

Escrevemos:

Significando: ƒ(x)  L quando x  a " ƒ(x) tende a L quando x tende a a"

Quando se pesquisa o limite de ƒ(x) quando x tende a a, nunca consideramos x = a. O importante é como ƒ(x) esta definida próxima de a.

Exemplo:
Seja a função , a qual não é definida em x = 2. Vamos investigar o seu comportamento à medida que x se aproxima de 2, tanto pela esquerda, quanto pela direita, cujos valores são mostrados na tabela abaixo:

xE : x se aproxima de 2 pela esquerda xD : x se aproxima de 2 pela direita

X
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
1,99
1,999
1,9999
2
2,0001
2,001
2,01
2,1
2,2
2,3
2,4 ƒ(x) 2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
2,99
2,999
2,9999

3,0001
3,001
3,01
3,1
3,2
3,3
3,4

ƒ(x) se aproxima de 3 ƒ(x) se aproxima de 3

y 5

4

L = 3

2

1

-2 -1 0 1 a = 2 3 x

O gráfico de ƒ(x) apresenta "um buraco" em x = 2, pois ƒ(x) não pode tomar o valor x = 2. Contudo, é possível chegar tão perto de 2 quanto se queira, fazendo ƒ(x) se aproximar de 3.

Então:
Observações:
um ponto aberto no gráfico indica que este ponto não é parte do gráfico da função;

pontos