Estatistica

8 Variável aleatória contínua
Uma variável aleatória é dita contínua quando o conjunto de valores de X é um número infinito de valores, de tal forma que não haja lacunas ou interrupções.

Exemplo: A duração X da vida (em horas) de um certo tipo de dispositivo eletrônico. X = {x Є IR  x  0).

Função densidade de probabilidade (f.d.p.)
A probabilidade de um valor selecionado entre a e b é igual a área sobre a figura

-  a b + X

0 a b n x

0 a b x

Propriedades da função densidade de probabilidade (fdp)
a) A função só assume valores não negativos: f(x) ≥ 0
b) A área total sob a figura é igual a 1: = 1

P(a  X  b) = que corresponde a área delimitada pela função f(x), eixo dos X e pelas retas X = a e X = b

E(X) = é a esperança ou média de X

V(X) = E(X2 ) – [E(X)]2 , onde E(X2 ) =
DP(X) =

Função de distribuição acumulada
É a relação F(X) = P(X  x) =

F(X) 1

1 X

Propriedades da função de distribuição acumulada
a) À medida que x cresce, F(x) varia de 0 a 1
b) F é não decrescente
c) F(x) tende a 1 quando x tende a +¥
d) Se a < b, P(a £ x £ b) = F(b) – F(a)

Exemplo: Verificar se f(x) = é uma f.d.p.

Solução: f(x) ≥ 0 para todos os valores de x

= 1 para ser uma f.d.p.

= 4 + 6 = 10
Não é uma f.d.p.

Exemplo: Seja f(x) =

Determinar:
a) k para f(x) ser f.d.p.
b) P
c) O gráfico de f(x)
d) E(X)
e) V(X)
f) F(x)
g) O gráfico de F(x)

Solução
a) Para f(x) ser f.d.p é necessário que
Logo, = 1 e = k = k = = 1 k = 2

b) P = = 2 = 2 =

c) f(x) =

f(x)

0 ½ 1 x

d) E(X) = = = = = =

e) V(X) = E(X2) – [E(X)]2
E(X2) = = = = =
V(X) = - =

f) F(X) = = = = x2 Logo:

F(X) =

Obs.: para 0 < x < 1

g) Gráfico de F(X)

F(X)

0 1 x

Exemplo: Numa central telefônica o tempo entre duas chamadas