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8 Variável aleatória contínua
Uma variável aleatória é dita contínua quando o conjunto de valores de X é um número infinito de valores, de tal forma que não haja lacunas ou interrupções.

Exemplo: A duração X da vida (em horas) de um certo tipo de dispositivo eletrônico. X = {x Є IR  x  0).

Função densidade de probabilidade (f.d.p.)
A probabilidade de um valor selecionado entre a e bé igual a área sobre a figura



-  a b + X






0 a b n x


0 a b x


Propriedades da função densidade de probabilidade (fdp)
a) A função só assume valores não negativos: f(x) ≥ 0
b) A área total sob a figura é igual a 1: = 1

P(a  X  b) = que corresponde a área delimitada pela função f(x), eixo dos X e pelasretas X = a e X = b

E(X) = é a esperança ou média de X

V(X) = E(X2 ) – [E(X)]2 , onde E(X2 ) =
DP(X) =

Função de distribuição acumulada
É a relação F(X) = P(X  x) =

F(X)
1



1 X


Propriedades da função de distribuição acumulada
a) À medida que x cresce, F(x) varia de 0 a 1
b) F é não decrescente
c) F(x) tende a 1 quando x tende a +¥
d) Se a< b, P(a £ x £ b) = F(b) – F(a)


Exemplo: Verificar se f(x) = é uma f.d.p.

Solução:
f(x) ≥ 0 para todos os valores de x

= 1 para ser uma f.d.p.

= 4 + 6 = 10
Não é uma f.d.p.


Exemplo: Seja f(x) =

Determinar:
a) k para f(x) ser f.d.p.
b) P
c) O gráfico de f(x)
d) E(X)
e) V(X)
f) F(x)
g) O gráfico de F(x)

Solução
a) Para f(x) ser f.d.p é necessário queLogo, = 1 e
= k = k = = 1 k = 2

b) P = = 2 = 2 =

c) f(x) =

f(x)

0 ½ 1 x

d) E(X) = = = = = =

e) V(X) = E(X2) – [E(X)]2
E(X2) = = = = =
V(X) = - =

f) F(X) = = = = x2
Logo:

F(X) =

Obs.: para 0 < x < 1


g) Gráfico de F(X)

F(X)

0 1 x


Exemplo: Numa central telefônica o tempo entre duas chamadas éuma variável aleatória cuja f.d.p é

f(x) =

onde k = constante real e T = tempo de espera em minutos

Determine:
a) o valor de k
b) O gráfico de f(x)
c) P(T < 2)

Solução:
a) Para f(t) ser f.d.p é necessário que
Logo, = 1 -ke-t | = 1 0 – (- k) = 1
k = 1

b) f(t)


c) P(T < 2) = = - e-t | = - e-2 – (-1) = 1 – e-2 = 0,86

Geometricamente, pode serrepresentado pela área tracejada na figura
f(t)



15.1 Distribuição Uniforme
Uma v. a contínua X tem distribuição uniforme de probabilidades no intervalo [a, b] se sua f.d.p. é dada por:

f(x) =

A representação gráfica da distribuição uniforme é a seguinte:

f(x)



1/(b – a)



0 a b x

A função de distribuição de X é dada por:

F(X) =Logo:
F(X) =

E seu gráfico é:

f(x)

1





0 a b X

A Esperança de X é:

E(X) =


E(X) =


A variância de X é dada por:

E(X2) =

V(X) =


V(X) =


Exemplo: Um ponto é escolhido ao acaso no intervalo [0, 2]. Qual a probabilidade de que esteja entre 1 e 1,5?

f(x) =


f(x)0,5

0 1 1,5 2 x

P(1 X  1,5) =

Exemplo:
Os tubos de PVC de uma empresa têm 6 metros de comprimento, sendo submetido a pressões até o aparecimento de um primeiro vazamento, cuja
distância a uma das extremidades é anotada. Calcule a possibilidade do vazamento estar no máximo a 1 metro das extremidades.
X: distânciacorrespondente ao vazamento. X~U[0, 6] com f.d.p.

f(x) =

P (X  {[ 0, 1]  [5, 6]}) = P (0  X  1) + P (5  X  6) =
Y

0 1 5 6 X

=


15.2 Distribuição Exponencial
Descreve o tempo ou espaço entre dois sucessos consecutivos de uma variável de Poisson. Por exemplo: o tempo entre falhas de equipamentos, o tempo entre chegadas de clientes a uma farmácia, a área entre...
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