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9 - 34 –Determinanates Determinante associado a uma matriz quadrada de ordem 2:
a  a Se A =  11 12  , então o determinante da matriz A a21 a22  será indicado por: a11 a12 a 21 a 22

Propriedades dos Determinantes
• Se todos os elementos de uma fila forem nulos, o determinante será nulo.

Ex:


3 0 6 5 0 2 =0 1 0 7

OBS: Não confunda as notações. Enquanto a matriz é representadapor colchetes o determinante é indicado por duas barras . Ex:

[ ],



Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, isto é, formadas por elementos respectivamente iguais, então seu determinante é nulo.

O determinante da matriz A será assim definido: det A = a 11 a 12 = a11 . a22 - a12 . a21 a 21 a 22

a b c 1 3 2 =0 a b c 3 −5 3 2 1 2 =0 1


1ª linha = 3ª linha

Ex:

+
21
= 2 . 5 - 1 . 4 = 10 - 4 = 6
+

1ª coluna = 3ª coluna

-

4 5

7

1

Determinante associado a uma matriz quadrada de ordem 3: a11 a12 a13    Se A= a 21 a 22 a 23  , então o determinante de A é o a31 a32 a 33    número obtido da seguinte forma: • • repita as duas primeiras colunas ao lado da matriz; os termos com sinal + são obtidos multiplicando-se os elementos dasflechas que acompanham a diagonal principal; os termos com sinal - são obtidos multiplicando-se os elementos das flechas que acompanham a diagonal secundária. a11 a12 a13 a11 a12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22

Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Ex :

1 2 3 6 1 2 8 7

= 0 (a segunda linha é o dobro da primeira)

5 6 = 0 (a terceira linha é odobro da primeira)

2 4 10
• Trocando-se de posição duas filas paralelas de uma matriz, seu determinante troca de sinal, mantendo o valor absoluto.



Ex:

a31 a32
-

a 33 a31 a 32
- + + +

Ex:

-

-

0 3 2 1

= -6, trocando-se de posição a primeira com a

1 0 3 2 10 4 5
1 −3 4 -

1 0 2 10 =60 + 0 + 42 - 150 - 28 - 0 = -76 5 7 + + +
0 2 = 0 + 0 + 0 - 0 -(-5) -0 = 5 5 + +segunda linha vamos ter:

2 1 0 3

=6

-

7 -

6 -

8 1 0 0 1 0 = 8, trocando-se de posição a primeira coluna 2 3 1 0 1 8 com a terceira, vamos obter: 0 1 0 = -8. 1 3 2
• Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma fila qualquer de uma matriz por um número, seu determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.

0 2 5

0 1 −1 − 3 0 + 4

OBS: Lembre-se que a matriz é oquadro de números reais, enquanto o determinante de uma matriz é o número real associado a ela.

Professor André Marques

9 - 34 –Determinanates
4 2 Ex: Determinante da matriz A =   vale -2. Se 3 1 multiplicarmos, por exemplo, a segunda linha de A por 5,  4 2 obteremos a matriz A' =   , cujo determinante vale 15 5  -10. Observe que det A'=5.det A.
Essa propriedade nos permitecolocar em evidência, quando possível, fatores comuns a todos os elementos de uma fila. Acompanhe no exemplo:

4 0 0 5 3 2 2 3 0 = 4 . 3 . 5 = 60 e 0 2 4 = 5 . 2 . 3 =30 1 2 5


0 0 3

determinante de uma matriz identidade é sempre igual a 1. 1 0 0 0 1 0 =1

0 0 1

Determinante do Produto de Matrizes
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det (A . B) = (det A) . (det B).•

18 6 5 6 6 5 6 3 5 6 3 5 6 4 1 = 3. 2 4 1 = 3.2. 2 2 1 = 6. 2 2 1 3 2 3 1 2 3 1 1 3 1 1 3



Determinante da Inversa de uma Matriz

Primeiramente colocamos 3 em evidência, pois é fator comum a todos os elementos da primeira coluna, depois colocamos 2 em evidência, por ser fator comum a todos os elementos da segunda coluna.

O determinante da matriz inversa de uma matriz A é igualao inverso do determinante de A. Det A =
-1

1 det A

(det A

≠ 0)

OBS: Note que uma matriz A fica multiplicada por um número real α , se todos os seus elementos forem multiplicado por α . Agora, um determinante D de uma matriz ficará multiplicado por um número α , se multiplicarmos apenas uma de suas filas por esse número α .
• Multiplicando-se uma matriz A, quadrada, de ordem n, por...
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