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Mecânica Técnica
Aula 4 – Adição e Subtração de
Vetores Cartesianos

Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Aula 4

Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Tópicos Abordados Nesta Aula
Operações com Vetores Cartesianos.
Vetor Unitário.
Ângulos Diretores Coordenados.

Mecânica Técnica

Aula 4

Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Componentesretangulares de um vetor
Um vetor A pode ter um, dois ou três
componentes ao longo dos eixos de
coordenadas x, y e z.
A quantidade de componentes
depende de como o vetor está
orientado em relação a esses eixos.
Sistema de coordenadas utilizando a
regra da mão direita.

Mecânica Técnica

Aula 4

Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Vetor Unitário
A direção de A é especificadausando-se
um vetor unitário, que possui esse nome
por ter intensidade igual a 1.
Em três dimensões, r o conjunto de
rr
vetores unitários i , j , k é usado para
designar as direções dos eixos x, y e z
respectivamente.
Para um vetor A:

r
r
A
uA =
A

Para um vetor Força:

r
r
F
uF =
F

Mecânica Técnica

Aula 4

Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Representação deum Vetor Cartesiano
Um vetor cartesiano é escrito
sob
a
forma
de
suas
componentes retangulares.
As componentes representam a
projeção do vetor em relação
aos eixos de referência.
Quando se escreve um vetor na
forma
cartesiana
suas
componentes ficam separadas
em cada um dos eixos e facilita
a solução da álgebra vetorial.

Vetor cartesiano:

r
r
r
r
A = Ax i + Ay j + Az kMódulo do vetor cartesiano:
2

2

A = Ax + Ay + Az

2

Mecânica Técnica

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Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Ângulos Diretores Coordenados
A orientação de um vetor no espaço é definida pelos ângulos
diretores coordenados α, β, e γ medidos entre a origem do vetor e os
eixos positivos x, y e z.
r
A
cos α = x
A

cos β =

r
Ay
A

r
A
cos γ = z
AMecânica Técnica

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Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Determinação dos Ângulos
Diretores Coordenados

r
r
A Ax r Ay r Az r
i+
uA = =
j+ k
AA
A
A

r
r
r
r
u A = cos α i + cos β j + cos γ k

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
Mecânica Técnica

Aula 4

Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Sistemas de Forças Concorrentes
Se o conceito de somavetorial for aplicado em um sistema de várias
forças concorrentes, a força resultante será a soma de todas as
forças do sistema e pode ser escrita da seguinte forma:

r
r
r
r
r
FR = ∑ F = ∑ Fx i + ∑ Fy j + ∑ Fz k

Mecânica Técnica

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Exercício 1
1) Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da
força resultante queatua sobre o anel, conforme mostrado na figura.

N

N

Mecânica Técnica

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Solução do Exercício 1
Vetor força resultante:

r
rrr
FR = ∑ F = F1 + F2

N

r
r
r
r
r
r
FR = (50i − 100 j + 100k ) + (60 j + 80k )

r
r
r
r
FR = (50i − 40 j + 180k ) N
Módulo da força resultante:

FR = 50 2 + 40 2 + 180 2

FR = 191NMecânica Técnica

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Solução do Exercício 1
Vetor unitário da força resultante:

r
u FR

r
FR FRx r FRy r FRz r
=
=
i+
j+
k
FR FR
FR
FR
r
50 r 40 r 180 r
u FR =
i−
j+
k
191 191
191

cos β =

r
FRy
FR

cos β = −0,209

β = 102°

β = arccos(−0,209)

r
r
r
r
u FR = 0,261i − 0,209 j + 0,942k
Ângulosdiretores:
r
F
cos α = 0,261
cos α = Rx
FR

α = arccos(0,261)

r
F
cos γ = Rz
FR

cos γ = 0,942

α = 74,8°
γ = arccos(0,942)

γ = 19,6°
Mecânica Técnica

Aula 4

Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Exercício 2
2) Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique
os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força
resultante FR atue...
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