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O determinante de uma matriz quadrada de ordem n:
A) Não se altera, quando:
I – trocamos ordenadamente as linhas pelas colunas. Propriedade: det (M) = det (Mt).
Exemplo: Considere a matriz M e sua transposta:
ou seja
II – somamos a uma fila (linha ou coluna) uma combinação linear de outras filas paralelas (Teorema de Jacobi).

Exemplo:
B) É igual a zero quando:
I – possui umafila nula (uma linha ou coluna de zeros).
II – duas filas paralelas iguais.
III – duas filas paralelas proporcionais.
IV – uma fila que seja uma combinação linear de outras filas paralelas.
Exemplos:
I - (Apresentam uma fia nula. Fila significa linha ou coluna)
II -
III -
IV -

C) Sofre alterações:

I – troca de sinal: quando duas filas paralelas trocam entre si de posição:Exemplo:

II – fica multiplicado por “k”, quando os elementos de uma fila são multiplicados por “k”:

Exemplos:

a)

b)


c)

III – fica multiplicado por Kn, quando a matriz é multiplicada por k:

Exemplo:


Exercícios de Fixação:
1 – Calcule os determinantes abaixo:


2 – Considere a matriz . Se o det (A) = α, os determinantes:






Questões com aprofundamento:1 – (UNESP-SP) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde. Com base na fórmula p(x) = det (A), determine:

a) O peso médio de uma criança de 5 anos; (R.: 18kg)
b) A idade mais provávelde uma criança cujo peso é 30 kg. (R: 11 anos)





2 – (UNESP-SP) Sejam A, B e C matrizes reais. :
a) Calcule o determinante de A, det (A), em função de x e y, e represente no plano cartesiano os pares ordenados (x,y) que satisfazem a inequação det (A) ≤ det (B). (R.: det (A) = y – 4x)
b) Determine x e y reais, de modo que A + 2B = C. (x = 1 e y = 2)

3 – (PUC-RS) O determinante damatriz é:

a) 0. b) 1. c) Sen(x) + Cos(x). d) Sen2(x). e) (Sen(x) +Cos(x))2.

4 – (PUC-SP) Considere a matriz , em que a, b, c são constantes reais positivas e x é uma variável real. Considerando que, ordenadamente, as sequências de termos das duas primeiras linhas da tabela constituem progressões aritméticas, enquanto as sequências de termos das duas primeiras colunas constituem progressõesgeométricas, então, se det (A) = 18, o valor de Log8 x é:
x


5 – (UEL-PR) Se o determinante da matriz é nulo, então:

a) X = - 3. b) c) X = -1. d) X = 0. e). x

6 – (UF-AL) O determinante da matriz :

a) -1. x b) 1. c) 0. d) Sen (2x). e) Cos (2x).

7 – (UFSCAR-2005) Seja A = (Aij) uma matriz quadrada de ordem 3 tal que com p inteiro positivo. Em tais condições, é corretoafirmar que, necessariamente, det (A) é múltiplo:

a) 2. b) 3. c) 5. x d) 7. e) 11.


8 – Para resolvermos a questão abaixo, é importante lembrarmos o seguinte teorema da “Teoria dos Determinantes”. Sejam A e B matrizes quadradas, não nulas, de mesma ordem. Demonstra-se que: det (A.B) = det(A).det(B) (Teorema de Binet). Seja A matriz. Se , então o determinante de A é:a) 8. b) . c) 2. x d) . e) 1.


9 - (UFMG) Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z. A matriz A (fig.1) indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região. A matriz B (fig.2) indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura.
Figura 1 Figura 2


a) Calcule a matriz C = AB.
b) Expliqueo significado de C23, o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C. (R.: 1700 kg do fertilizante Z para as culturas de milho, soja e feijão na região Q)

10 – (IBMEC) Considere os pontos P1, P2 e P3 e a matriz onde cada Aij é o valor da distância entre o ponto Pi e o ponto Pj. No triângulo formado por esses pontos, a mediana relativa a P2 mede:

a) 6. b) 8. c) 10. x d) 12....
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