Equações Diferenciais e Séries

PROBLEMAS COM CRESCIMENTO

As equações diferenciais constituem um ramo da matemática aplicada e está entre os elementos matemáticos mais utilizados na modelagem. Mais especificamente, destacam-se os modelos de crescimento de populações que utilizam equações diferenciais. A modelagem matemática da dinâmica de determinada população permite fazer inferências sobre a mesma e planejar ações. Esses modelos vêm sendo aprimorados com o passar do tempo e descrevem cada vez melhor a dinâmica populacional, principalmente quando aplicados recursos computacionais.

Malthus e o Crescimento Exponencial

O primeiro modelo de crescimento populacional foi proposto por Thomas Malthus em 1798. Ele observou que, na ausência de restrições ambientais, a população humana aumentaria numa proporção fixa. Em termos matemáticos, se N(t) é o número de pessoas em uma certa área geográfica, no instante t, a hipótese de Malthus é escrita como:

DN/DT= AN
Onde a é uma constante, a taxa (relativa) de crescimento populacional. A ideia básica do modelo é simples: quanto mais gente existir, mais rapidamente a população vai aumentar. Que tipo de crescimento isso gera? Vamos usar o Modellus para encontrar a resposta.

Interprete o modelo e dê valores ao parâmetro malthusiano a e à condição inicial N(0). A Figura mostra o que acontece com a = 0.2 e N(0) = 1. Note que não há nada de errado com a população inicial: N (0) = 1 não quer dizer, necessariamente, um indivíduo – pode ser mil, um milhão ou qualquer outro número de pessoas, dependendo da “unidade” populacional adotada.

Modelo de Malthus.
O crescimento populacional previsto pelo modelo é explosivo
(demograficamente falando) – de fato, este é um exemplo clássico de crescimento exponencial. A denominação é usada porque a solução analítica do modelo de Malthus é dada por uma função exponencial:
N(t ) N0 e^at
Modelo de Verhulst
Segundo Verhulst, a taxa relativa de crescimento demográfico diminui com