equacao diferencial

Convergências de serie geométricas
Serie geométrica é a tentativa de somar os infinitos termos de uma progressão geométrica.
É quando determinadas sequências geométricas, quando somadas, resultam a um valor numérico fixo, aonde a introdução de novos termos na soma faz com a que a série geométrica se aproxime cada vez mais de um valor.
É formada por termos de progressão geométrica

Na teoria da progressão é preciso:

Com isso vemos que esta série é convergente e sua soma é dada por: Para convergência de uma série é necessário que seu termo geral tenda para 0.
Se s=limsn=∑∞n=1an é uma série convergente então liman=0
Serie geométrica:
Convergência: se | r | < 1.
∑an=a,∑bn=b convergentes.
∑an+∑bn=∑(an+bn) converge para a + b t∑an=∑tan converge para ta
(∑an)(∑bn)= converge para ab
∑n=1∞an⇒∑n=n0∞an converge para p

Convergências de serie de potencia Série de potências é uma série que depende de um parâmetro :

A convergência da série de potências depende da distância entre e no plano complexo:

Serie de Taylor

Uma função analítica num ponto é uma função cujas derivadas de qualquer ordem existem nesse ponto. Nesse caso a função pode ser representada por uma série de potências convergente em:

Derivados de calculam-se derivando o termo dentro da série, por exemplo, as duas primeiras derivadas são:

Se substituirmos nas séries para , e vemos que:

em geral,

e a série de Taylor de escreve-se:

Seja f:D C uma função analítica sobre um domínio complexo D tal que para todo p D, existe uma, e somente uma série de potências convergente em um disco |z−p|0) todo contido em D, cuja soma é igual a f dada por f(z)= ∞

n=0

f(n)(p)

n!

(z−p)n
Este desenvolvimento é conhecido como série de Taylor da função f.

Série Fourier:

Qualquer função periódica f(t) pode ser representada por uma soma infinita de senos e cossenos

av, an, bn são os coeficientes de Fourier ωo=2*pi/T e a frequência fundamental da função.