Engenharia

Cap´ ıtulo 2

Equa¸˜es Diferenciais Ordin´rias de co a Segunda Ordem
2.1 Introdu¸˜o ca
F (t, y, y , y ) = 0, isto ´, al´m da vari´vel t e da fun¸˜o y, elas envolvem a derivada primeira y e a derivada segunda y . e e a ca Neste curso, estudaremos principalmente equa¸˜es de segunda ordem da forma co y = f (t, y, y ) ou d2 y =f dt2 dy dt

a co Defini¸˜o. EDOs de segunda ordem s˜o equa¸˜es do tipo ca

t, y,

.

Defini¸˜o. Uma solu¸˜o da EDO y = f (t, y, y ) em um intervalo I ⊂ R ´ uma fun¸˜o duas vezes ca ca e ca diferenci´vel y : I −→ R que satisfaz a EDO. a Defini¸˜o. Um problema da forma ca  2 dy  d y  = f t, y,  2 dt dt  y (t0 ) = y0   y (t0 ) = y0

´ chamado um problema de valor inicial. e Duas condi¸˜es iniciais s˜o necess´rias para determinar uma unica solu¸˜o para uma EDO de segunda co a a ´ ca ordem pois a sua solu¸˜o envolve em um certo sentido duas integra¸˜es, que introduzem duas constantes de ca co integra¸ao arbitr´rias. c˜ a ca Exemplo 2.1. Encontre a solu¸˜o geral da EDO d2 y = t2 . dt2 1

2

EDOs de Segunda Ordem A partir da solu¸˜o geral, encontre a solu¸˜o para o problema de valor inicial ca ca  2  d y = t2  dt2  y (0) = 1  y (0) = 2

Solu¸˜o: Atrav´s de uma integra¸˜o simples, obtemos ca e ca dy = dt Como y (0) = 2, devemos ter 03 + C1 = 2 =⇒ C1 = 2, 3 ou seja, dy t3 = + 2. dt 3 t3 +2 3 t4 + 2t + C2 12 t2 dt = t3 + C1 . 3

Integrando uma segunda vez, obtemos y (t) = Como y (0) = 1, devemos ter 04 + 2 · 0 + C2 = 1 =⇒ C2 = 1, 12 ou seja, y (t) = t4 + 2t + 1. 12 dt =

2.2

Equa¸˜es Lineares de Segunda Ordem Homogˆneas co e d2 y dy + p (t) + q (t) y = f (t) . 2 dt dt

Uma EDO de segunda ordem ´ linear se ela tiver a forma e (2.1)

Ela ´ homogˆnea se f (t) ≡ 0, isto ´, se ela for da forma e e e dy d2 y + p (t) + q (t) y = 0. dt2 dt (2.2)

Para equa¸˜es lineares de segunda ordem, um teorema de existˆncia e unicidade de solu¸˜es para problemas co e co de valor inicial tamb´m ´ v´lido: e e a Teorema 2.1. (Teorema