Engenharia

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Derivadas Parciais

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14.8 Multiplicadores de Lagrange

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Multiplicadores de Lagrange
Nesta seção apresentamos o método de Lagrange para maximizar uma função genérica f (x, y, z) sujeita a uma restrição (ou vínculo) da forma g(x, y, z) = k.
É fácil explicar a base geométrica do método de Lagrange para as funções de duas variáveis. Então, vamos começar tentando determinar os valores extremos de f (x, y) sujeita a uma restrição da forma g(x, y) = k. Em outras palavras, queremos achar os valores extremos de f (x, y) quando o ponto (x, y) pertencer à curva de nível g(x, y) = k.

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Multiplicadores de Lagrange
A Figura 1 mostra essa curva junto de diversas curvas de nível de f. Estas têm as equações f (x, y) = c, onde c = 7, 8,
9, 10, 11.

Figura 1

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Para maximizar f (x, y) sujeito a g(x, y) = k é preciso determinar o maior valor de c, tal que a curva de nível f (x, y) = c intersepta g(x, y) = k. Parece, da Figura 1, que isso acontece quando essas curvas se tocam, ou seja, quando essas curvas têm uma reta tangente comum.
(Caso contrário, poderiamos aumentar o valor de c.) Isso significa que as retas normais ao ponto (x0, y0) onde as duas curvas se tocam devem ser as mesmas. Logo, os vetores gradientes são paralelos; ou seja, f (x0, y0) = 
g(x0, y0) para algum escalar .
Este tipo de argumento também se aplica ao problema de achar os valores extremos de f (x, y, z) sujeita à restrição g(x, y, z) = k. Assim, o ponto (x, y, z) está restrito a pertencer à superfície S com equação g(x, y, z) = k.

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Em vez das curvas de nível na Figura 1, devemos considerar as superfícies de nível f (x, y, z) = c e argumentar que, se o valor máximo de f é f (x0, y0, z0) = c, então a superfície de nível f (x, y, z) = c é tangente à superfície de nível