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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1. Função Seno
1.1. Definição Consideremos um arco trigonométrico AP e seja N a projeção ortogonal de P sobre o eixo dos senos. Por definição chama–se seno do arco AP, a medida algébrica do segmento ON . Representa–se: sen AP = ON I Quadrante:

II Quadrante:

III Quadrante: Notando–se que a um arco AP qualquer de determinação x corresponde um único segmento ON , demedida algébrica y, conclui–se que há unívoca entre os números reais x, que medem os arcos, e os números reais y, senos desses arcos. Pode–se, portanto, definir uma função de IR em IR, tal que a cada x associa um y = sen x = ON . Simbolicamente: f : IR → IR / y = f(x) = sen x . Observe que: o ponto P, numa volta completa no ciclo trigonométrico, faz o valor do seno ( ON ) variar entre −1 e 1 . Acada volta ( 2π ), verificamos que esse comportamento se repete. 1.2. Consequências Da definição da função y = f(x) = sen x , decorre que: Domínio da função: Dm( f ) = IR Imagem da função: Im( f ) = { y ∈ IR / − 1 ≤ y ≤ 1} 1.3. Propriedades I. O período da função seno é 2π , ou seja, f ( x + 2π) = f ( x ), ∀ x ∈ IR II. A função y = sen x , é CRESCENTE nos quadrantes I e IV e DECRESCENTE nosquadrantes II e III, (a cada volta no ciclo trigonométrico). Observe: IV Quadrante:

PROFESSOR: RONEI . CARVALHO – PÁGINA 1

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
III. Sinais da função y = f(x) = sen x . Observe que: π De 0 a o seno é positivo e cresce de 0 a 1 . 2 π De a π o seno é positivo e decresce de 1 a 0 . 2 3π De π a o seno é negativo e decresce de 0 a 2 −1 . 3π a 2π o seno é negativo e cresce de −1 a De 20. De forma visual, temos: 2.1. Conceito Consideremos um arco trigonométrico AP e seja M a projeção ortogonal de P sobre o eixo dos cossenos. Por definição chama–se cosseno do arco AP, a medida algébrica do segmento OM . Representa–se: cos AP = OM

f(x) = sen x

Dm(f) = IR

Im(f) = [ −1; 1]

P = 2π

2. Função Cosseno

1.4. Gráfico da Função Seno Vamos inicialmente construir o gráficoda função seno no intervalo [0; 2π] . Considere a tabela:

x

0

π 6 1 2

π 4
2 2

π 3

π 2

2π 3
3 2

0

5π 6

π

sen x

0

3 2

1

2 2

1 2

0

Pode–se definir uma função de IR em IR, tal que a cada x associa um y = cos x = OM . Simbolicamente: f : IR → IR / y = f(x) = cos x . Observe que: o ponto P, numa volta completa no ciclo trigonométrico, faz o valordo cosseno ( OM ) variar entre −1 e 1 . A cada volta ( 2π ), verificamos que esse comportamento se repete.

Localizando os pares ordenados da tabela em um sistema de eixos cartesianos x0y, temos: no intervalo [0; π] . Para obter pontos do gráfico no intervalo de [0; 2π] , basta utilizar as propriedades da simetria. Teremos então a curva denominada senóide, que representa o gráfico da função seno.2.2. Consequências Da definição da função y = f(x) = cos x , decorre que: Domínio da função: Dm( f ) = IR Imagem da função: Im( f ) = { y ∈ IR / − 1 ≤ y ≤ 1}

PROFESSOR: RONEI . CARVALHO – PÁGINA 2

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
2.3. Propriedades I. O período da função cosseno é 2π , ou seja, f ( x + 2π) = f ( x ), ∀ x ∈ IR . III. Sinais da função y = f(x) = cos x . Observe que: π De 0 a ocosseno é positivo e decresce de 1 a 2 0. π De a π o cosseno é negativo e decresce de 0 2 a −1 . 3π De π a o cosseno é negativo e cresce de −1 2 a 0. De
3π a 2π o cosseno é positivo e cresce de 0 a 2

II. A função y = cos x , é DECRESCENTE nos quadrantes I e II e CRESCENTE nos quadrantes III e IV, (a cada volta no ciclo trigonométrico). Observe: I Quadrante:

1.
De forma visual, temos:

IIQuadrante:

2.4. Gráfico da Função Cosseno Vamos inicialmente construir o gráfico da função cosseno no intervalo [0; π] . Veja a tabela abaixo: x
cos x

III Quadrante:

0 1

π 6
3 2

π 4
2 2

π 3 1 2

π 2

2π 3

3π 4 − 2 2

5π 6 − 3 2

π

0



1 2

−1

Localizando os pares ordenados da tabela em um sistema de eixos cartesianos xOy , temos:

IV Quadrante:...
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