engenharia

EA-513 – Circuitos Elétricos I

DECOM-FEEC-UNICAMP

Capítulo 8
Circuitos Simplificados RC e RL

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8.1 Circuitos RC sem Fontes
Associação em série de um resistor e um capacitor: i(t) + v(t) −

C

R

Capacitor carregado com tensão V0 em t = 0.
Energia em t = 0:

1
2
w(0 ) = CV0
2

Aplicando Lei de Kirchhoff de correntes quando t ≥ 0, temos:

C

dv v
+ =0 dt R

dv
1
+ v=0 dt RC

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Solução da equação diferencial de 1ª ordem:

dv
1
+ v=0 dt RC dv 1
=−
dt v RC dv 1
=−
dt
∫v
RC ∫

ln v = −

t
+K
RC

Para que a solução seja válida para t ≥ 0, a constante K deve ser escolhida tal que a condição inicial de v(0) = V0 seja satisfeita, Portanto, em t = 0, temos: ln v(0 ) = ln V0 = K

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Substituindo o valor de K na solução, temos:

ln v = −

t t +K =−
+ ln V0
RC
RC

ln v − ln V0 = − ln t
RC

v t =−
V0
RC

 t  v(t ) = V0 exp −

RC 


Esta é a tensão sobre R, portanto, a corrente é:

i(t ) =

v(t ) V0
 t 
= exp −

R
R
RC 


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v(t)
V0

t
Observe que a tensão é inicialmente V0 e que decai exponencialmente, tendendo a 0, para t crescente.
Velocidade de decaimento da tensão é determinada pelo produto RC.
Como a resposta é caracterizada pelos elementos do circuito e não pela atuação de uma fonte externa de tensão e corrente, a resposta é denominada de resposta natural do circuito.

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Potência instantânea absorvida pelo resistor R:
2
v 2 (t ) V0
 2t  exp − pR (t ) =
=

R
R
 RC 

[W ]

Energia absorvida pelo resistor para t → ∞ é:
∞

wR (∞ ) = ∫ pR (t )dt
0
2
∞ V0
 2t  exp −
=∫
dt
0 R
 RC 

 2t 
2
= − 1 CV0 exp −

2

∞

 RC  0