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Processamento Digital de Sinais

Aplicações da DFT
Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti

Aplicações da DFT
Nesta seção iremos apresentar três aplicações bastante comuns da DFT: 1) Análise espectral de sinais 2) Resposta em frequência de sistemas 3) Convolução via domínio da frequência

Análise espectral de sinais
Em muitos casos, a informação contida em um sinal está no domínio dafrequência. Exemplos: áudio, voz. Nestes casos, a forma de onda no domínio do tempo não é importante, mas sim a amplitude, frequência e fase das componentes senoidais. Podemos usar a DFT para calcular o espectro de um trecho de sinal e assim visualizar o seu espectro: periodograma. Geralmente os sinais vêm imersos em ruído, que pode eventualmente ter uma potência maior que o próprio sinal. Neste casousamos a técnica do periodograma médio. Um exemplo ajuda a ilustrar estes conceitos.

Sonar passivo
Um microfone é colocado dentro da água, e seu sinal é digitalizado a uma frequência de amostragem 160Hz. Olhando o sinal no domínio do tempo, temos:

Janelamento do sinal
O domínio do tempo parece não ter informação útil. Vamos então tentar uma análise no domínio da frequência. A primeira coisa afazer é multiplicar o sinal no domínio do tempo por uma janela de Hamming (explico depois porque):

Cálculo da DFT (Periodograma)
Calculando a DFT de 256 pontos e convertendo para a forma polar, obtemos o seguinte espectro (129 pontos):

Você consegue perceber alguma informação útil nisto?

Porque não funciona?
Não há informação suficiente nos 256 pontos para termos uma curva bemcomportada. Se usarmos mais pontos (2048 por exemplo), teremos uma curva parecida, só que mais contínua. Mesmo que os 2048 pontos tenham mais informação, o grande número deles dilui a informação do mesmo fator. Melhora a resolução, mas mantém o mesmo nível de ruído. Solução: usar mais pontos, mas não aumentar o número de pontos da DFT.

Periodograma médio
Quebramos o sinal em vários segmentos de 256pontos, calculamos a DFT de 256 pontos de cada segmento e fazemos a média de todos os espectros:

Análise do espectro obtido
Abaixo de 10 Hz: ruído 1/f Acima de 70 Hz: atenuação do filtro antialiasing. Entre 10 e 70 Hz: ruído branco 60 Hz: ruído da rede elétrica 13, 26 e 39 Hz: turbina de 3 hélices girando a 4.33 rps!

Octave:analiseEspectra

Deteção de sinais próximos em frequência
DFTde 512 pontos de duas senóides de frequências 6100 e 6250 Hz, que aparecem como uma única senóide. (fs=96kHz) A resolução da DFT (187,5Hz) é muito baixa para detectar as duas senóides.

Deteção de sinais próximos em frequência (cont.)
Aumetando o número de pontos da DFT para 8192, conseguimos visualizar os dois picos. Neste caso, a resolução é de 11,72 Hz.

Octave:somasenos.m Necessidade do janelamento

Sinal composto por duas senóides: uma com frequência igual a uma das funções base (2kHz) e outra com frequência entre duas funções base (4.51kHz). Observe as caudas (indesejáveis) na segunda senóide.

Necessidade do janelamento (cont.)
Multiplicando o sinal no tempo por uma janela de Hamming antes de calcular a DFT, observamos 3 efeitos:
Os dois picos ficam maissemelhantes As caudas são bastante reduzidas A largura dos picos ficou maior.

Janelamento: compromisso entre resolução (largura dos picos) e vazamento espectral (amplitude das caudas).

Por que o janelamento melhora
Uma multiplicação de dois sinais no tempo corresponde a uma convolução de seus espectros. O espectro de uma senóide é um impulso na frequência da mesma. A convolução de um espectroqualquer com um impulso desloca-o para a posição do impulso.

Espectro das janelas mais comuns

Retangular

Hamming

Blackman

Hanning

Conclusão
A multiplicação de uma senóide por uma janela gera dois efeitos: – o truncamento da senóide, necessário para o cálculo da DFT – o deslocamento do espectro da janela para a posição da frequência da senóide (lembre-se: multiplicação no tempo...
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