Engenharia civil

UNIVERSIDADE DE ITAÚNA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

Exercícios de Integral Definida - Cálculo I
Professor: Marcelo Lemos de Medeiros (Paraná) – adaptado de www.matematiques.com.br

Integral Definida
O matemático grego Arquimedes (287 – 212 A.C.) utilizou o denominado método de exaustão para determinar a quadratura da parábola. O método, cujo desenvolvimento foi creditado a Eudoxo (cerca de 370 A.C.), consiste em exaurir ou esgotar a região, cuja área se quer determinar, por meio de outras áreas já conhecidas. Vejamos agora como definir e calcular a área de uma região limitada por uma função f, contínua em um intervalo [a,b].

A

B

A

B

Se dividirmos o intervlo [a,b] em n partes e construirmos retângulos. Quanto maior for o número n, mais próxima da área da figura será a soma das áreas dos retângulos. O limite da soma das áreas desses retângulos, quando n tende a infinito, é, por definição, a área da figura dada. Na figura abaixo, dividimos o intervalo [a, b] em n partes iguais a x e construímos os retângulos com base igual a x e altura igual a f (x): y f(x2) f(x1) f(x3) f(x)

x = (b-a) / n

a

x

x1

x

x2

x x3

b

X

A área da figura é definida como limite da soma das áreas desses retângulos, quando n tende a infinito, isto é:
A lim n [ f (x1)x  f (x2)x  f (x3)x ... f (xn)x] ou A n  f (x )x lim k 1 k n

A figura acima dá o significado geométrico desta soma se f(x)  0 e também mostra que esta soma é uma boa aproximação da área determinada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas ordenadas x = a e x = b. Sendo f (xn)x a área do retângulo de base x (ou dx) e altura f (xn), cabe destacar que quanto mais retângulos tivermos menor será x e quanto melhor for a posição de xn, melhor será a aproximação entre a área sob a curva e suas outras delimitações.

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Exemplo: y y                                   