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Noção Intuitiva de Limite
Dada a função f(x)= x+1, observe que a medida que x tende a 1 pela direita ou pela
esquerda, o valor de f(x) tende a 2. Dessa maneira dizemos que o limite da função f(x)quando x tende a 1 é igual a 2 e representamos pela seguinte notação:
2 1 lim1
+ =
®
x
x
Propriedades dos Limites de Funções
Suponha que f x L
x a
=
®
lim ( ) e que g x M
x a
=
®
lim () e k é uma constante, estão:
1. x a
x a
=
®
lim
2. k k
x a
=
®
lim
3. f x g x f x g x L M
x a x a x a
± = ± = ±
® ® ®
lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
4. f x g x [ f x ][ g x ] L M
x ax a x a
lim[ ( ). ( )] = lim ( ) . lim ( ) = .
® ® ®
5. cf x c f x cL
x a x a
= =
® ®
lim ( ) lim ( ) , onde c é uma constante qualquer
6.
M
L
g x
f x
g x
f x
x a
x a
x a
= =
®
®® lim ( )
lim ( )
( )
( )
lim , onde (lim ( ) ¹ 0)
®
g x
x a
7. [ ] [ ]n n
x a
n
x a
f x = f x = L
® ®
lim ( ) lim ( ) onde (n é um inteiro positivo qualquer)
8. n
n
x a
n
x a
f x =f a = L
® ®
lim ( ) lim ( ) , se L > 0 e n é um inteiro positivo, ou se L £ 0 e n é
um inteiro positivo ímpar
9. ( ) [ ] g x M
x a
g x
x a
f x = f x x®a = L
® ®
( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )10. f x [ f x ] L b
x a
b b
x a
limlog ( ) = log lim ( ) = log
® ®
11. sen f x sen[ f x ] senL
x a x a
= =
® ®
lim ( ( )) lim ( )
12. f x f x L
x a x a
= =
® ®
lim ( ) lim ( )
13. Seh é uma função tal que h(x) = f (x) é válido para todos os valores de x
pertencentes a algum intervalo ao redor de a, excluindo o valor de x = a, então
h x f x L
x a x a
= =
® ®
lim ( ) lim ( )Exemplo 1: Determine os seguintes limites:
a)
5 1
2
lim
2
2 −
+
® x
x x
x
Resolução:
3
2
6
2 2
6
8
10 4
4 4
5.2 4
2 2.2
5lim lim4
lim lim2
lim5 lim4
lim 2
lim5 4
lim 2 2
22
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2 = = =

+
=

+
=

+
=

+
=

+
=
® ®
® ®
® ®
®
®
®
x x
x x
x x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
b) 2
3
lim x

c) 7 5 lim4
+
®
x...
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