EDO - Lagrange

Faculdade Área I
E.D.O. lineares, de ordem n, com coeficientes variáveis
Método de Lagrange
(variação dos parâmetros)

Método da Variação dos Parâmetros (Lagrange)

Esse método foi desenvolvido por Joseph Louis
Lagrange (matemático francês: 1736-1813) criador da Mecânica Analítica e dos processos de
Integração das Equações de Derivadas Parciais.

Método da Variação dos Parâmetros (Lagrange)
Este método aplica-se a quaisquer EDOs lineares, de coeficientes constantes ou variáveis.
Nos exemplos serão utilizadas equações lineares de ordem 2.

Método da Variação dos Parâmetros (Lagrange)
EDO linear não homogênea de ordem 2
Formato:
y” + a1(x) y’ + a2(x)y = f(x) (1)

EDO linear homogênea associada à equação (1)
Formato:
y” + a1(x) y’ + a2(x)y = 0 (2)

Método da Variação dos Parâmetros (Lagrange)
Uma solução de uma equação homogênea pode ser obtida através das raízes de sua equação característica. A equação característica da equação (2) tem o seguinte formato: k² + a1k + a2 = 0 (3)

Exemplo: y” – 3y’ + 2y = o
Equação característica = k² - 3k + 2 = o
Raízes: k=1 e k=2, então y1 = ex e y2=e2x
Solução geral = yg = c1ex + c2e2x

Método da Variação dos Parâmetros (Lagrange)
No caso das raízes da equação característica serem complexas, a solução geral será dada por:
Parte real

Aeax

Parte imaginária

Parte real

Beax

Parte imaginária

y= cos(bx) + sen(bx) Exemplo: y” – 2y’ + 10y = 0
Equação característica: k² - 2k + 10 = o
Raízes: k1 = 1+3i e k2 = 1 – 3i
Solução particular: y1=excos(3x) e y2=exsen(3x)
Solução geral: y=Aexcos(3x)+Bexsen(3x)

Método da Variação dos Parâmetros (Lagrange)
Solução de uma EDO não homogênea linear, com coeficientes variáveis: yg = yh + yp, onde: yh = solução geral da EDO homogênea associada yp = solução particular da EDO dada

Método da Variação dos Parâmetros (Lagrange)
Solução de uma EDO não homogênea linear, com coeficientes variáveis: yh = Ay1 + By2

A, B Є R