Diversos

Parte III

Equa¸˜es e Zeros de Fun¸˜es co co

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Cap´ ıtulo 8

Zeros de fun¸˜es e o M´todo da co e
Dicotomia
8.1

Introdu¸˜o ca Considere o seguinte problema: “dada uma fun¸ao real f , achar suas ra´ , isto ´, os valores c˜ ızes e de x para os quais f (x) = 0”, como ilustra a figura abaixo (os pontos pretos indicam as ra´ ızes da fun¸ao representada no desenho). c˜ f

Pode a princ´ ıpio parecer um problema espec´ ıfico, mas ele aparece toda vez que tivermos uma equa¸ao a ser resolvida. Uma equa¸ao nada mais ´ do que uma express˜o c˜ c˜ e a f1 (x) = f2 (x) , onde procuramos o(s) valor(es) de x que a satisfa¸a(m). Ora, mas isso ´ o mesmo que achar c e as ra´ da fun¸ao f (x) = f1 (x) − f2 (x). ızes c˜
Al´m disso, o problema se relaciona com a invers˜o de fun¸oes. Por exemplo, temos uma e a c˜ fun¸ao g (x) conhecida, mas gostar´ c˜ ıamos de determinar g −1 em certos pontos. Lembrando que g −1 (y ) ´ definido como sendo o valor x tal que g (x) = y temos que, para um dado y , e resolver a equa¸ao g (x) = y e determinar x = g −1 (y ). Resolver a equa¸ao g (x) = y ´ o c˜ c˜ e mesmo que achar um zero da fun¸ao f (x) = g (x) − y . c˜ Nas pr´ximas Se¸oes veremos alguns exemplos que ilustram o problema. o c˜
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90

8.2

´
CAP´
ITULO 8. ZEROS DE FUNCOES E O METODO DA DICOTOMIA
¸˜

Raiz c´ bica de 10 u Suponha que queiramos achar um n´ mero x positivo tal que x3 = 10. Esse n´ mero ´ o que u√ ¯
¯
u e denominamos a raiz c´ bica de 10, ou 3 10. u y=x3

Graficamente, encontramos x pela intersec¸ao de
¯
c˜
{y = x3 } com {y = 10}, como mostra a figura ao lado. Observe tamb´m que o problema ´ equivalente e e a resolver a equa¸ao c˜ 10

y=10 x x3 − 10 = 0 , ou seja, estamos procurando a raiz de f (x) = x3 − 10.

8.3

P´ra-quedista ou bolinha em queda dentro d’´gua a a

Imagine um p´ra-quedista que abre seu p´ra-quedas no instante t = 0, da altura h0 . Ou, a a