determinantes

ÁLGEBRA LINEAR
DETERMINANTES
Prof. Esp. Cassio Ricardo C. Moreira Junior [e-mail] 1

MATRIZES
Determinantes
Definição: É o número real associado a uma matriz quadrada A = (aij)
Notação:
det(A) ou |A|




Se Amxn então det(A) =

Obs: Diferente de outras operações com matrizes, o cálculo do determinante só pode ser realizado em matrizes quadradas .

2

MATRIZES
Determinantes - Cálculo

3

MATRIZES
Determinantes 3x3
3. Se A é de ordem n=3, seguimos as seguintes etapas:
1°) Repete-se as duas primeiras colunas ao lado da matriz

4

MATRIZES
Determinantes 3x3
2°) Multiplica-se os elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal primária, somando-os após esse processo

1.1.2 + 2.1.1 + 1.2.1 =

=2+2+2=6
5

MATRIZES
Determinantes 3x3
3°) Multiplica-se os elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal secundária, subtraindo-os após esse processo

- 1.1.1 - 1.1.1 - 2.2.2 = - 1 - 1 - 8 = -10
4°) Finalizamos somando os dois resultados, assim teremos
6

det(A) = 6 + (– 10) = - 4

MATRIZES
Determinantes
Exemplo: Dadas as matrizes A, B e C, calcule o determinante de cada uma:

A   6

  4 2

B
 1 3



 1 3 4


C   2 5 0 
 3 4  1


7

MATRIZES
Determinantes (n>3)
4. Se a matriz A for de ordem n  4, devemos utilizar o
Desenvolvimento de Laplace que consiste nas seguintes etapas: 1ª. Escolhermos uma linha ou coluna para aplicação do desenvolvimento (Obs: A melhor escolha é a linha ou coluna que possui mais zeros)

det( A) 

8

3 2 1 4
0 1 9 8
5 6 7 2
3 1 4 6

MATRIZES
Determinantes (n>3)
2ª. O desenvolvimento é o elemento da coluna escolhida (1ª coluna) vezes o determinante da submatriz, eliminando a linha e a coluna a qual ele esta presente.
3 2 1 4
0 1 9 8

1 9 8

3 2 1 4
0 1 9 8

2 1 4

 3. 6 7 2
5 6 7 2
1 4 6
3 1 4 6

 5. 1 9 8
5 6 7 2
1 4 6
3 1 4 6
9

3 2 1 4
0 1 9 8

2 1