Derivada,integral e limits

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SUMÁRIO

1 LIMITES
1.1 Limites laterais 4
1.2 Unicidade do limite 5
1.3 Propriedades de limite de uma função 7
1.4 Limite de uma função polinomial 9
1.5 Limites infinitos 10
1.6 Limites no infinito 11
1.7 Teoremas de limites 12
1.8 Limites trigonométricos 13

2 LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL
2.1 Limites de funçãologarítmica 13
2.2 Limites da função fundamental 13

3 EXEMPLOS DE LIMITES
3.1 Funções quando x se aproxima de uma constante 15
3.2 Exemplo de calculo de limites laterais 15

4 APLICAÇÔES DE LIMITES 16

5 DERIVADAS
5.1 Definição derivada de uma função 19
5.2 Definição derivada de uma função no ponto [pic] 19
5.3 Interpretação geométrica daderivada 20
5.4 Derivada de função composta(ou regra da cadeia) 20
5.5 Derivada de função inversa 21
5.6 Derivadas sucessivas 21
5.7 Diferencial 22
5.8 Funções marginais 23
5.9 Exemplos de cálculos de derivadas 23
5.10Lista das derivadas 25
5.11 Aplicações das derivadas 26
5.11.1Taxas de variação......................................................................... 26
5.11.2 Derivada aplicada á administração................................................ 27

6 INTEGRAL
6.1 Lista de integrais 29
6.2 A integral definida 30
6.2.1 Somatórias 30
6.2.2 Propriedades 30
6.3 Definição da integral de Riemann 32
6.4 Propriedades da integral definida 33
6.5Teorema fundamental de calculo ..........................................................36

7 APLICAÇÕES DE INTEGRAIS
7.1 Áreas de figuras planas 38 . 7.2 Volumes de sólidos 41
7.3Uma aplicação da integral definida ......................................................41

8 EXEMPLOS DE INTEGRAIS 42

9 INTEGRAL E DIFERENCIAL45

10 REFERENCIAS BIBIOGRÀFICAS 46
































1. LIMITES

Definição: Seja um intervalo aberto ao qual pertence o numero a seja E uma função definida para X E I [ a]. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a e L escrevemos Lei f(x) = L, se para todo E > 0, existir [pic]> 0 tal que se 0 < Lx – AL < [pic] então Lf(x) – 1|
Em símbolos temos:

[pic]

E importante observarmos nesta definição que nada e mencionado sobre o valor da função quando x – a, isto é, não é necessário que a função esteja definida em a. Assim no exemplo anterior, virmos que.

[pic]

E sempre importante ter sempre em mente no calculo de lim que interessa o comportamento d [pic]a. f(x) quando x se aproxima de a e não o queocorre com F quando x=a.
O próximo teorema afirma que uma função não pode aproximar-se de dois números diferentes quando x se aproxima de a.È o teorema da unicidade do limite de uma função, ele nos garante que se o limite de uma função existe então ele é único.

1.1. LIMITES LATERAIS

Lembremos que ao considerarmos lim f(x),estávamos interessados no comportamento da função nosvalores próximos de a, x[pic]a isto é nos valores de x pertencentes a um interessado aberto contendo a e portanto nos valores desse intervalo que são maiores ou menores que a.
Entanto o comportamento em algumas funções,quando x está próximo de a,mas assume valores menores que a, é diferente do comportamento da mesma função,quando x está próximo de a,mas assume valore maiores que a.Assim, por exemplo, na função:


[pic]


Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1(á esquerda de 1) Tenho:




[pic]


E atribuído a x valores próximos de 1, porem maiores que 1(á direita de


1)Temos:




[pic]


Observamos que esta próximo de 1, a esquerda de 1, então os valore da função estão próximos de 3,...
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