David Hilbert e a concepção homogênea de demonstração geometrica

A DEMONSTRAÇÃO FORMAL EM DAVID HILBERT (PRIMEIRA SEÇÃO)
UFBA
JEAN MARCELO DOS SANTOS FARAOH

Este relatório consiste na exposição de três tópicos que tem como base principal o livro Foundations of Geometry de David Hilbert. O primeiro tópico é a descrição da demonstração formal; o segundo tópico consiste em apresentar o que são os axiomas e suas propriedades; o terceiro tópico é uma descrição breve das demonstrações não formais em Euclides e sua comparação com a demonstração formal. A demonstração formal ou concepção homogênea axiomática de demonstração geométrica consiste em um argumento que tem como base um conjunto de axiomas (proposições não demonstradas) pressupostos anteriormente. Uma demonstração formal é uma sequência de passos tal que cada um deles é ou bem um axioma ou se segue de fórmulas anteriores na sequência por uma regra de inferência. O que não se utiliza nela são diagramas (certos recursos gráficos). Na concepção tradicional, os axiomas são como premissas imediatamente evidentes por si mesmas, em outras palavras, proposições que encerram uma verdade indubitável. Porém, na concepção de Hilbert isso não é assim: um axioma é escolhido por critérios que tem a ver com sua capacidade dedutiva, coisa que pode se perceber quando consideramos as propriedades que uma teoria axiomática deve satisfazer: a não contradição, a independência, e a completude.
A não contradição ou consistência mostra que do conjunto de axiomas não se pode deduzir uma proposição e sua contraditória, isto é, uma proposição que afirme e negue uma mesma coisa. A independência implica que nenhum axioma se deriva dos demais axiomas. E que os axiomas sejam completos consiste em que toda verdade do domínio de que se trate seja deduzida a partir deles. Consideremos um exemplo de demonstração que tiramos de “Foundations of Geometry” de David Hilbert, capítulo 1:
• Teorema 4: Dados três pontos A,B,C quaisquer duma reta, há sempre um que está entre os outros dois.