Cálculo

Ensino Superior

Cálculo 3
4. Derivadas Parciais
Amintas Paiva Afonso

Derivadas de Funções de 2
Variáveis
A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y), sua derivada em relação a x é

Significado matemático
1) Derivada parcial em x:

f x ( x, y ) lim x 0

f ( x  x, y )  f ( x, y )
x

2) Derivada parcial em y:

f y ( x, y ) lim y  0

f ( x, y  y )  f ( x, y )
y

Nomenclatura
Seja z = f(x,y), então a derivada parcial de z em relação a x escreve-se:

f f x ( x, y )   Dx
x

A Técnica de Derivadas Parciais

A Técnica de Derivadas Parciais

Derivadas Parciais de Funções de
Várias Variáveis
Ex.5

A Técnica de Derivadas Parciais

Exercícios propostos

Exemplos
2

2 3

2

2

3

1) Se f ( x, y, z )  3x y z  4 x y z  6 xy , determine f1 ( x, y, z ) e f 3 ( x, y, z )
Derivada em relação a x Derivada em relação a z

2 3

f1 ( x, y, z )  6 xy z
2

2 4

f 3 ( x, y, z ) 9 x y z

3

2

2

2

 8x y z  6 y
 4x y

3

Exemplos
2

2 2

3

1) Se f ( x, y, z ) tg ( x z )  cot g (4 y z )  sen(5 zxy ), determine f 3 ( x, y, z ) e f 2 ( x, y, z )
Derivada em relação a z

2

2

Derivada em relação a y

2

2 2

2

3

f 3 ( x, y , z ) sec ( x z )  cos ec (4 y z )4 y 2 z  cos(5 zxy )5 xy f 2 ( x, y , z )  cos ec 2 ( 4 y 2 z 2 )8 yz 2  cos(5 zxy 3 )15 zxy 2

3

Diferencial Total de uma função de 2 ou mais variáveis

Diferencial Total de uma função de 2 ou mais variáveis

Derivada Total
2

3 2

3 3

1) Se f ( x, y, z ) sen(2 x y )  tg ( x z )  cot( y z ), determine f1 ( x, y, z )  f 2 ( x, y, z )  f 3 ( x, y, z ). f1 ( x, y, z ) cos(2 x 2 y )4 xy  sec 2 (4 x 3 z 2 )3 x 2 z 2 f 2 ( x, y,