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202CAPÍTULO 4
4.7 – EXERCÍCIOS – pg. 127
1.
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
Esboçar o gráfico em cada caso.
(a) f ( x) = x 2 − 1; x = 1, x = 0, x = a, a ∈ R.
m( x) = lim
∆x → 0
( x + ∆x) 2 − 1 − x 2 + 1
∆x
2 x + 2 x∆x + (∆x) 2 − x 2 lim ∆x → 0
∆x
∆x (2 x + ∆x ) lim = 2x
∆x → 0
∆x
m (1) = 2.1 = 2
y − y1 = m ( x − 1) y − 0 = 2 ( x − 1) y = 2x − 2
m (0) = 2.0 = 0 y + 1 = ( x − 0) y +1 = 0 y = −1
m ( a ) = 2a y − a 2 + 1 = 2a ( x − a ) y − a 2 + 1 = 2ax − 2a 2 y = 2ax − a 2 − 1
As figuras que seguem mostram as retas tangentes para os pontos x = 1 e x = 0 . Como o valor de a é genérico o gráfico só pode ser apresentado com o valor definido.
203 f(x) f(x)
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-4
-3
-2
-1
1
-1
-3
-4
-4
-5
4
-2
-3
3
-1
-2
2
-5
(b) f ( x) = x 2 − 3 x + 6; x = −1, x = 2.
( x + ∆x) 2 − 3 ( x + ∆x) + 6 − x 2 + 3 x − 6
∆x → 0
∆x
2
2
x + 2 x∆x + (∆x) − 3 x − 3∆x − x 2 + 3 x
= lim
∆x → 0
∆x
∆x (2 x + ∆x − 3)
= 2x − 3
= lim
∆x → 0
∆x
Temos: m (−1) = 2(−1) − 3 = −2 − 3 = −5 y − 10 = −5 x − 5 y = −5 x + 5 m ( x ) = lim
m (2) = 2.2 − 3 = 4 − 3 = 1 y − 4 = 1 ( x − 2)
y = x−2+4 y= x+2
Seguem os gráficos. f(x) f(x)
11
11
10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
x
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
204
1
(c) f ( x) = x(3 x − 5); x = , x = a, a ∈ IR.
2
f ( x) = 3 x 2 − 5 x
3 ( x + ∆x) 2 − 5 ( x + ∆x) − 3 x 2 + 5 x
∆x → 0
∆x
2
3 x + 6 x∆x + 3(∆x) 2 − 5 x − 5∆x − 3 x 2 + 5 x
= lim
∆x → 0
∆x
∆x (6 x + 3∆x − 5)
= 6x − 5
= lim
∆x → 0
∆x
m ( x ) = lim
1
1
m = 6. − 5 = 3 − 5 = −2
2
2
Temos:
7
1
y + = −2 x −
4
2
7 y + = −2 x + 1
4