Controle

Considere um sistema de controle conforme figura abaixo:

a. Obtenha a função de transferência em malha fechada do sistema. Considere o distúrbio = 0, Kp ≠ 0, Ki = 0 e Kd = 0.

Para obter a função de transferência em malha fechada do sistema, utilizaremos a Regra de Mason:

1º Passo: Determinar o diagrama de fluxo de sinal

2º Passo: Determinar os ganhos dos caminhos diretos (Ci)
C1=012345=G1G2
3º Passo: Determinar os laços (Li)
L1=343=-G2G3
L2=12341=-G1G2G4
4º Passo: Determinar o Δ
Δ=1-L1+L3Δ=1--G2G3-G1G2G4Δ=1+G2G3+G1G2G4
5º Passo: Determinar Δi
Δi=1
6º Passo: Achar a Função de Transferência
FT=1ΔΣni=1CiΔiFT=11+G2G3+G1G2G4*G1G2
Substituindo os valores dos ganhos, temos que:
FT=Kp+KiS+KdS1S2+S+11+1S2+S+1+Kp+KiS+KdS1S2+S+1
Colocando 1S2+S+1em evidência no denominador temos que:
FT=Kp+KiS+KdS1S2+S+11S2+S+111S2+S+1+1+Kp+KiS+KdS
Após algumas simplificações, temos a função de transferência final:
FT=KdS2+KpS+KiS³+1+KdS²+2+KpS+Ki
Substituindo as condições Kd=0e Ki=0, temos que:
FT=KpS²+S+2+Kp
b. Encontre a faixa de variação do ganho do controlador (Kp) para que o sistema seja estável. Verifique sua resposta utilizando o Simulink. Considere o distúrbio = 0, Kp ≠ 0, Ki = 0 e Kd = 0.
Considerações: aplicaremos o Critério de estabilidade de Routh para acharmos a variação do ganho do controlador (Kp) para que o sistema seja estável.

De acordo com o livro Engenharia de controle moderno (4 edição) - Ogata, o procedimento do critério segue da seguinte forma:

1º - Escrevemos o polinômio em s da seguinte maneira: a0Sn+a1Sn-1+...+an-1S+an=0 Sabemos que nossa equação é: S²+S+Kp+2

O critério só se aplica para polinômio com um numero finito de termos e, é importante notar se todos os coeficientes sejam positivos e que os mesmos estejam todos presentes na organização padrão que segue abaixo:
Sna0a2a4a6...Sn-1a1a3a5a7...Sn-2b1b2b3b4...Sn-3c1c2c3c4.....................S0g1g2g3g4...
Sendo nosso b1 calculado da seguinte forma: