Contabilidade

Determine, quais das funções são aplicações lineares, se?
A) f; R² --> R² tal que f(x,y) = (x +y, x - y)
F) t: R² --> R tal que t(x) = | x |

a) f(aV) =(ax + ay, ax - ay) = a(x + y, x - y) = a f(V) f(V + U) = ( (x+w) + (y+z), (x+w) - (y+z) ) = (x + y, x - y) + (w + z, w - z)) = f(V) + f(U)
Logo, é linear.

F) t(V + U) = |V + U| = |V| + |U| + 2 UV que é diferente de t(V) + t(U)
Logo, não é linear

Seja T : V → W uma função. Mostre que:?
Se T(0) diferente 0,entao T não é uma transformação linear.
Poderíamos raciocinar assim.
Toda TL preserva as propriedades dos EV. Mas EV possui necessariamente o "zero" e assim T linear implica T(0) = 0.
Mas vamos supor u vetor em V. Pelas propriedades de um EV deve existir - u em V tal que u + (-u) = 0 (vetor nulo).
Porém é característica da linearidade que T(a+b) = T(a) + T(b) e T(ka) = kT(a) sendo k um operador externo.
Aplicando T(0) = T(u+(-u)) = T(u) + T(-u) = T(u) + T(-1.u) = T(u) -1.T(u) => T(0) = T(u) - T(u) = O.
Se T não é linear as propriedades não se verificam. Então a proposição
T(0) 0 => T é linear é Falsa. Negada, indica que T(0) 0 => T não linear.

A afirmação "se T(0) diferente de 0 então T não é uma transformação linear" é a contrapositiva da afirmação "Se T é uma transformação linear então T(0) = 0". Ou seja mostra a contrapositiva que é equivalente por valores verdade.
(Obs.: Você sabe mostrar que T(0) = 0 ne?, trivial ...)

http://www.soensino.com.br/foruns/viewtopic.php?f=6&t=27575
P195-Q21 Suponha que λ1 e λ2 sejam autovalores distintos e diferentes de zero da transformação linear T: R² -> R². Mostre que:
a) os autovetores v1 e v2 correspondentes são LI.
b) T(v1) e T(v2) são LI.
Vamos usar o método da redução ao absurdo para provar os itens a e b:

a) Por absurdo consideremos que v_2 = a * v_1, onde a pertence ao conjuntos dos reais. Assim v_2 e v_1 são LD.

Como λ1 e λ2 são autovalores de T associados aos autovetores v_1 e v_2 respectivamente, temos que: