CONJUNTOS NUMRICOS 1

CONJUNTOS NUMÉRICOS

1 - Introdução

1.1 - Operação interna (ou lei de composição interna).

Definição: Seja A conjunto.  é uma operação interna em A sss  é uma função de AxA em A.

Exemplos e contra-exemplos de operações.

a) A função f:NxN  N tal que f(x,y)=xy é a operação de potenciação sobre N (quaisquer que sejam os números naturais x e y, o símbolo xy representa um número natural). Pergunta-se: f: ZxZ  Z tal que f(x,y)=xy é uma operação?

f: QxQ  Q tal que f(x,y)=xy é uma operação

f: RxR  R tal que f(x,y)=xy é uma operação?

b) A função f: Q* x Q * Q* tal que f(x,y)= é a operação de divisão sobre Q .
Pergunta-se:

Esta operação pode ser definida em N*, Z*, R* e C?

Propriedades das operações.

Seja  uma operação interna em A. Vejamos algumas propriedades que  pode apresentar. Associativa - P1: a,b,cA, (ab)c=a(bc). Elemento neutro - P2: aA, eA tq ae=a=ea. Elemento Inverso - P3: aA, a’A tq aa’=e=a’a. Comutativa - P4: a,bA, ab=ba.

Seja  operação interna em A. Dizemos que  é distributiva em relação a  se: P5: a,b,cA, a(bc)=(ab)(ac) e (bc)a=(ba)(ca).

2 - Conjunto dos Números Naturais

Chama-se conjunto dos números naturais ao conjunto N=. Definem-se em N as operações de adição e multiplicação que apresentam as seguintes propriedades:

A1: a,b,c  N, (a+b)+c=a+ (b+c).
A2: a  N, 0  N tq a+0 = a = 0+a.
A4: a,b  N, a+b=b+a.
M1: a,b,c  N, (ab)c = a(bc).
M2: a  N, 1  N tq a.1 = a = 1.a.
M4: a,b  N, ab=ba.
D: a,b,c  N, a(b+c) = (ab)+ (ac) e (b+c) a = (ba)+(ca).
3 - Conjunto dos Números Inteiros

Chama-se conjunto dos números inteiros ao conjunto Z=. Definem-se em Z as operações de adição e multiplicação que apresentam além das propriedades A1, A2, A4, M1, M2, M4 e D, a propriedade: A3: a  Z, -a  Z tq a+(-a) = 0 = -a+a.

4 - Conjunto dos Números Racionais

Chama-se conjunto dos números inteiros ao