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Matemática A Novembro de 2009

Matemática A Itens – 10.º Ano de Escolaridade

No Teste intermédio, que se irá realizar no dia 29 de Janeiro de 2010, os itens de grau de dificuldade mais elevado poderão ser adaptações de alguns dos itens que a seguir se apresentam.

Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade – Página 1

Nota: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente ovalor exacto.

1.

Na figura 1 estão representados, num referencial ortogonal e monométrico BSC, a circunferência de equação B # # C $ # œ & e o rectângulo ÒEFGHÓ Sabe-se que: • os vértices do rectângulo circunferência • a recta EF tem equação C œ & ÒEFGHÓ pertencem à

1.1. Determine as coordenadas dos vértices do rectângulo
ÒEFGHÓ

1.2. Considere a região do círculo que está acima darecta

EF e a região do círculo que está à esquerda do eixo das ordenadas.

As duas regiões têm áreas iguais. Justifique a afirmação anterior. Figura 1

1.3. Escreva uma condição que defina a região representada
a sombreado, incluindo a fronteira.

2.

Na figura 2 está representada, num referencial ortogonal e monométrico BSC , a circunferência de centro no ponto E, definida pela equaçãoÐB Tem-se: • ÒGKÓ é a corda que está contida no eixo SC • ÒGHÓ é uma corda paralela ao eixo SB • ÒEJ Ó é um raio da circunferência, paralelo ao eixo SC • ÒEFGHÓ é um trapézio rectângulo • ÒEHIJ Ó é um losango %Ñ# ÐC 'Ñ# œ #&

2.1. Mostre que o ponto G tem coordenadas Ð!ß *Ñ e que
o ponto H tem coordenadas Ð )ß *Ñ Figura 2 ,

2.2. Determine uma equação da mediatriz do segmento ÒEHÓ
Apresente asua resposta na forma C œ + B Ð+ e , designam números reaisÑ

2.3. Defina, por meio de uma condição, a região representada a sombreado, incluindo a fronteira. 2.4. Determine o perímetro do trapézio ÒEFGHÓ 2.5. Determine a área do losango ÒEHIJ Ó
Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Página 2

3.

Considere, num referencial ortogonal e monométrico BSC, a circunferência de centro naorigem do referencial e raio igual a È' Sejam E e F os pontos dessa circunferência com abcissa igual a #, considerando que, destes dois pontos, o ponto E é o que pertence ao primeiro quadrante. Seja G o ponto da circunferência que pertence ao semi-eixo negativo SB

3.1. Determine as coordenadas de E e as coordenadas de F 3.2. Mostre que metade da área do triângulo ÒEFGÓ é um valor aproximado de 1com erro inferior
a !ß !"

4.

Considere, num referencial ortogonal e monométrico BSC , 1.º quadrante.

a semi-recta que é a bissectriz do

Sejam E e F os pontos dessa semi-recta com abcissas " e $ , respectivamente.

4.1. Seja T um ponto que pertence à mediatriz do segmento de recta ÒEFÓ . Sabe-se que a ordenada
do ponto T é igual ao dobro da sua abcissa. Þ Determine as coordenadas doponto T

4.2. Considere que a semi-recta SE roda %&º em torno da origem, no plano BSC . Nessa rotação, Þ
Determine a área dessa região.

o segmento de recta ÒEFÓ , que está contido na semi-recta SE , descreve uma região que é parte de uma coroa circular.

5.

Na figura 3 estão representados, num referencial ortogonal e monométrico BSC, um triângulo ÒESFÓ e a respectiva circunferênciacircunscrita. Sabe-se que: Þ • a semi-recta SE é a bissectriz do 2.º quadrante Þ • a semi-recta SF é a bissectriz do 1.º quadrante • a ordenada do ponto ordenada do ponto E F excede em $ unidades a

• a área do triângulo ÒESFÓ é igual a "!

5.1. Determine as coordenadas dos pontos E e F 5.2. ÒEFÓ é um diâmetro da circunferência.
Justifique esta afirmação. Figura 3

5.3. Seja Q o ponto médio deÒEFÓ
Prove que as áreas dos triângulos ÒEQ SÓ e ÒSQ FÓ são iguais.

5.4. Assinale, na figura, a intersecção do círculo com a região definida pela condição
C B • C  B

Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Página 3

6.

Num referencial ortogonal e monométrico BSC , considere: • o ponto T de coordenadas Ð!ß "Ñ • um ponto U , tal que o quadrado da sua abcissa é igual ao quádruplo da...
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