CN Aula17 18

4 Interpola¸c˜ao
Professor: Wemerson D. Parreira.
Universidade Cat´ olica de Pelotas
Centro Polit´ ecnico 2012

Wemerson D. Parreira (UCPel)

C´ alculo Num´ erico 2012

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4.1 Interpola¸c˜ao Polinomial
Uma fun¸c˜ ao f (x) pode ser conhecida por um conjunto finito e discreto de n + 1 pontos. xn x0 x1 x2 x3 x4 x5 yn y0 y1 y2 y3 y4 y5

➪ Para se INTERPOLAR os n + 1 pontos obtidos da tabela, ´e utilizado um polinˆ omio Pn (x) de tal forma que:
Pn (xi ) = f (xi ) para i = 0, 1, . . . , N.

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C´ alculo Num´ erico 2012

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4.1.1 Existˆencia e Unicidade do Polinˆomio Interpolador
Pn (x)
Teorema (Existˆ encia e unicidade do polinˆ omio interpolador):
Existe um u
´nico polinˆ omio Pn (x), de grau ≤ n, tal que: Pn (xi ) = f (xi ), com i = 0, 1, . . . , n, desde que xi = xj , i = j. n ak xki = f (xi ) para i = 0, 1, . . . , n.

Tome Pn (xi ) = k=0 n

ak xki ( i = 0, 1, . . . , n ), obt´em-se:

Desenvolvendo o sistema f (xi ) = k=0 
1
2 n a
+
a x + a x
+
·
·
·
+
a x 0
1
2 n 
0
0
0 = f (x0 )



a0 + a1 x11 + a2 x21 + · · · + an xn
1 = f (x1 )
..
..
..
..
..


. + . + . + ... + . = .



a0 + a1 x1n + a2 x2n + · · · + an xn n = f (xn )

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C´ alculo Num´ erico (i = 0)
(i = 1)

(i = n)

2012

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4.1.1 Existˆencia e Unicidade do Polinˆomio Interpolador
Pn (x)
Da´ı, retira-se a

1 x0
 1 x1

A= .
..
 ..
.
1 xn

matriz dos coeficientes A para se calcular as inc´ ognitas a0 , a1 , . . . , an .

x20 . . . xn
0
2 n  x1 . . . x1 
..
.. 
.
...
.  x2n . . . xn n ➪ A ´e uma matriz de VANDERMONDE e, sendo xi com i = 0, 1, . . . , n, pontos distintos, o det(A) = 0.
Assim o sistema admite solu¸c˜ ao u
´nica.
Observa¸c˜ ao: det(A) = (xn −xn−1 )(xn −xn − 2) . . . (xn −x0 )(xn−1 −xn−2 )(xn−1 −xn−3 ) . . . (xn−1 − x0 ) . . . (x3 −x2 )(x3 −x1 )(x3 −x0 )(x2 −x1 )(x2 −x0 )∗(x1 −x0 ) ⇒ det(A) =
(xi −xj ). i>j ˜ O polinˆ
➪ ENTAO: omio Pn (x) existe e ´e u
´nico.

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alculo