Circunferencia

Equações da Circunferência
José Antônio Araújo Andrade
Graziane Sales Teodoro

Definição: Dados um ponto C , pertencente a um plano α , e uma distância r não nula, chama-se circunferência o conjunto dos pontos de α que estão à distância r do ponto C .
Circunferência = {P ∈ α | PC = r}
Consideremos a circunferência λ de centro C ( a, b) e raio r .

.P

y

b

.

C

Um ponto P( x, y ) pertence a λ se, e somente se, a distância PC é igual ao raio r .

r

P ∈ α ⇔ CP = r

a

x

Chama–se equação da circunferência aquela que é satisfeita exclusivamente pelos pontos P( x, y ) pertencentes à curva. É imediato que um ponto genérico P ∈ λ verifica a condição PC = r . Portanto, temos:

P ∈ λ ⇔ PC = dist ( P, C ) = r ⇔ ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r

e, daí, vem a equação reduzida da circunferência

( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2

Equações da circunferência.
Circunferência de raio r e centro C ( x 0 , y 0 ) .

P

y y t r
A

C
0

Considere P um ponto qualquer de coordenadas ( x , y ) pertencente a circunferência. E t o ângulo formado por PCA
. , onde A é um ponto cujas coordenadas são ( x0 + r , y0 ).

x

0

Então,

x x +r
0

CP.CA cos t =
|| CP || . || CA ||

Como CA = OA − OC =

(( x

0

+ r ) − x0 , y0 ) = ( r ,0 )

e

CP = OP − OC = ( x − x0 , y − y0 )

CP.CA cos t =
|| CP || . || CA ||

x − x0 , y − y0 )( r ,0 ) r ( x − x0 ) ( x − x0 )
(
cost =
=
=
2
2 r x − x0 cos t = r r

⇒

x = x0 + r cos t

r

y

y0 + r y y0

B

Procedendo de maneira análoga com os vetores CP e CB , onde B
.
é o ponto ( x0 , y0 + r ) e levando em conta que o co-seno do ângulo θ , formado por estes vetores, é igual ao seno do ângulo t , obtemos:

•

r θ

C

•P

•

x0

x

x

y = y0 + rsent

Reciprocamente, se um ponto P = ( x, y ) satisfaz as x = x0 + r cos t e y = y0 + rsent , então equações P( x, y ) pertence a circunferência, pois: d ( P, C ) = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 cos 2 t + r 2 sen 2t = r

As equações: x = x + r cos t y = y + rsent
0

0

São chamadas equações paramétricas da