Circuitos

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´ XI ENCONTRO DE MATEMATICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

´ Algebra Linear e Teoria de Circuitos

Val´rio Badarau e Eduardo S. Goes Leandro e
eduardo@dmat.ufpe.br 20/setembro/2008

1

Conte´ do u
´ 1 Preliminares de Algebra Linear 1.1 Espa¸os Vetoriais e seus Duais . . . . . . c 1.2 Bases e Bases Duais . . . . . . . . . . . 1.3 Espa¸o Quociente . . . . . . . . . . . . . c 1.4Rela¸˜es entre o Anulador e o Quociente co 1.5 Transforma¸˜es Adjuntas . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 6 9 10

2 Introdu¸˜o ` Teoria de Circuitos ca a 14 2.1 Cadeias e o Operador ∂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Cocadeiase o Operador d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Os Teoremas de Kirchhoff 20

2

1
1.1

´ Preliminares de Algebra Linear
Espa¸os Vetoriais e seus Duais c

´ O conceito fundamental em Algebra Linear ´ o de espa¸o vetorial. e c Defini¸˜o 1.1. Um espa¸o vetorial sobre um corpo K ´ um conjunto V no qual ca c e est˜o definidas duas opera¸˜es: a co +: V ×V (u, v) −→ V → u+v e· : K ×V (c, v) −→ V → c·v

denominadas adi¸˜o e multiplica¸˜o por escalares, respectivamente. ca ca A adi¸˜o e a multiplica¸˜o por escalares satisfazem as seguintes propriedades: ca ca (A1) (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ V . (Associatividade) (A2) u + v = v + u, ∀ u, v ∈ V . (Comutatividade) (A3) ∃O ∈ V tal que v + O = O + v = v. (Existˆncia do Elemento Neutro) e (A4) ∀v ∈ V , ∃u ∈ V talque v + u = u + v = O. Este u ´ denominado inverso e aditivo de v e ´ denotado por −v. e (M1) Se 1 ´ o elemento neutro multiplicativo em K ent˜o, ∀v ∈ V , 1 · v = v. e a (M2) Se b, c ∈ K, ∀v ∈ V , temos (bc) · v = b · (c · v). (Associatividade) (M3) ∀b, c ∈ K, ∀u, v ∈ V temos c·(u+v) = c·u+c·v, e tamb´m (b+c)·v = b·u+c·v. e (Ditributividades) No restante destas notas assumiremos que K = R.Defini¸˜o 1.2. Um subconjunto W de V ´ subespa¸o vetorial ou simplesmente ca e c subespa¸o de V se c (S1) W ´ n˜o-vazio. e a (S2) Se u ∈ W e v ∈ W , ent˜o u + v ∈ W . a a (S3) Se c ∈ R e v ∈ W , ent˜o c · v ∈ W . ´ E comum indicar que W ´ subespa¸o de V por W ≤ V . e c

3

Dado um espa¸o vetorial V , consideremos o conjunto das fun¸˜es lineares c co α : V −→ R. Afirmamos que este conjunto ´ um espa¸ovetorial com as seguintes opera¸˜es: e c co (α + β)(v) := α(v) + β(v), (c · α)(v) := c α(v), ∀v ∈ V, ∀c ∈ R, ∀v ∈ V.

Verifiquemos algumas das propriedades destas opera¸˜es (as demais ficam como exco erc´ ıcio): • Associatividade da Adi¸˜o: ca ((α + β) + γ)(v) = (α + β)(v) + γ(v) (α(v) + β(v)) + γ(v) α(v) + (β(v) + γ(v)) α(v) + (β + γ)(v) (α + (β + γ))(v), ∀v ∈ V.

• Existˆncia do Elemento NeutroAditivo: seja o : V −→ R a fun¸˜o identicamente e ca nula: o(v) = 0, ∀v ∈ V. Temos que (α + o)(v) = α(v) + o(v) = α(v) + 0 = α(v), Logo α + o = α. Analogamente, o + α = α. e c co Defini¸˜o 1.3. Dado um espa¸o vetorial V , o seu dual , V ∗ , ´ o espa¸o das fun¸˜es ca c lineares definidas em V com as opera¸˜es acima definidas. co Exemplo 1.1. Seja V = R2 , o conjunto dos pares ordenados (x, y), com x, y∈ x . Neste caso, V ∗ R. Fa¸amos a identifica¸˜o de (x, y) com a matriz-coluna c ca y identifica-se o conjunto das matrizes-linhas a b , e aplicar a fun¸˜o linear α ∈ ca (R2 )∗ a um vetor v ∈ R2 corresponde ` mutiplica¸˜o de matrizes a ca a b · x y 4 = a x + b y. ∀v ∈ V.

Um aplica¸˜o interessante do conceito de espa¸o dual ´ na constru¸˜o subespa¸os ca c e ca c 3 vetoriais. Por exemplo, se V =R , um plano que passa pela origem ´ definido por e uma equa¸˜o, por exemplo 2x − 2y + z = 0. Ora, esta equa¸˜o escreve-se tamb´m ca ca e sob a forma   x   2 −2 1  y  = 0, z ou seja, basta escolher α = dos v ∈ R3 onde α(v) = 0. 2 −2 1 ∈ (R3 )∗ e definir o plano como o conjunto

1.2

Bases e Bases Duais

Todo espa¸o vetorial V possui uma base. Aqui suporemos que V possui uma base...
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