Ciencia

Cap´ ıtulo 9

Zeros de fun¸˜es e o M´todo da co e
Dicotomia
9.1

Introdu¸˜o ca Considere o seguinte problema: “dada uma fun¸˜o real f , achar suas ra´ ca ızes, isto ´, os e valores de x para os quais f (x) = 0”, como ilustra a figura abaixo (os pontos pretos indicam as ra´ ızes da fun¸˜o representada no desenho). ca f

Pode a princ´ ıpio parecer um problema espec´ ıfico, mas ele aparece toda vez que tivermos uma equa¸˜o a ser resolvida. Uma equa¸˜o nada mais ´ do que uma express˜o ca ca e a f1 (x) = f2 (x) , onde procuramos o(s) valor(es) de x que a satisfa¸a(m). Ora, mas isso ´ o mesmo que c e achar as ra´ ızes da fun¸˜o f (x) = f1 (x) − f2 (x). ca Al´m disso, o problema se relaciona com a invers˜o de fun¸˜es. Por exemplo, tee a co mos uma fun¸˜o g(x) conhecida, mas gostar´ ca ıamos de determinar g −1 em certos pontos.
−1 (y) ´ definido como sendo o valor x tal que g(x) = y temos que, para
Lembrando que g e 113

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CAP´
ITULO 9. ZEROS DE FUNCOES E O METODO DA DICOTOMIA
¸˜

um dado y, resolver a equa¸˜o g(x) = y e determinar x = g −1 (y). Resolver a equa¸˜o ca ca g(x) = y ´ o mesmo que achar um zero da fun¸˜o f (x) = g(x) − y. e ca
Nas pr´ximas Se¸˜es veremos alguns exemplos que ilustram o problema. o co

9.2

Raiz c´ bica de 10 u Suponha que queiramos achar um n´mero√ positivo tal que x3 = 10. Esse n´mero ´ o u x
¯
¯ u e que denominamos a raiz c´bica de 10, ou 3 10. u Graficamente, encontramos x pela intersec¸˜o
¯
ca
3 } com {y = 10}, como mostra a fiy=x3 de {y = x
10
gura ao lado. Observe tamb´m que o problema e y=10
´ equivalente a resolver a equa¸˜o e ca x3 − 10 = 0 ,

x

ou seja, estamos procurando a raiz de f (x) = x3 − 10.

9.3

P´ra-quedista ou bolinha em queda dentro d’´gua a a

Imagine um p´ra-quedista que abre seu p´ra-quedas no instante t = 0, da altura h0 . a a
Ou, alternativamente, uma bolinha que parte do repouso ` altura h0 dentro de um
a