Celula

Calculando a derivada de funções exponenciais e logarítmicas
Posted on 1 de outubro de 2011 by André Machado
A princípio, pode-se pensar que para calcular-se a derivada de uma função exponencial, basta proceder-se como no caso das funções potência e baixar a variável no expoente, diminuindo-lhe uma unidade no novo expoente. No entanto, o cálculo da derivada nesse tipo de função possui alguns detalhes a mais, os quais veremos a seguir:
O número de Euler
A função exponencial é aquela da forma y = expa(x) = ax, com x Real e a uma constante fixa, maior do que zero e diferente de 1. Vamos tomar como exemplo a função exponencial y = 2x. A derivada dy/dx (2x) quando x = 0 é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y = 2x no ponto de abscissa 0. Como sabemos, o gráfico de toda função exponencial passa pelo ponto (0, 1) pois qualquer coisa elevado a 0 dá 1. Logo, a reta tangente ao gráfico dessa função em x = 0 passa por (0,1).
A equação da reta que passa por (0,1) e tem coeficiente angular 1 é y – 1 = 1 (x – 0), de onde tiramos que y – 1 = x e, portanto, y = x + 1. Essa reta não pode ser a reta tangente ao gráfico de y = f(x) e, além disso, podemos ver que a derivada de y = 2x quando x = 0 é menor do que 1! De forma análoga, verificamos que a derivada de y = 3x quando x = 0 é maior do que 1. Compare, abaixo, os gráficos de y = 2x, em azul e de y = 3x, em verde:

Pela lógica – e tmbém pela intuição – concluímos que deve haver um número entre 2 e 3 cujo coeficiente de inclinação da reta tangente no ponto x = 0 seja exatamente igual a 1, ou seja, a reta y = x + 1 é tangente ao gráfico de alguma função y = ax no ponto x = 0.
O número que satisfaz a essa condição é chamado de Número de Euler, em homenagem ao grande matemático Leonhard Euler, e é designado pela letra e. Sendo um número irracional, e vale aproximadamente 2,71828.
Logo, podemos afirmar que , mas pela definição de derivada, sabemos que . Daí, prosseguindo os cálculos, concluímos que a