Cavalieri

Os princípios de Cavalieri para áreas e volumes

Esses princípios levam o nome do matemático italiano
Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647), que os chamava de método dos indivisíveis e os divulgou (em versões mais restritas)através de seu famoso livro Geometria Indivisibilibus, de 1635. Mas, na verdade,esse método é muito anterior a Cavalieri. Era conhecido dos antigos gregos, que o utilizavam para obter volumes de sólidos. Esses resultados eram depois demonstrados pelo método da dupla redução ao absurdo, já que na época não tinham uma teoria de integração. O mesmo faziam muitos matemáticos dos séculos XVI e XVII.
Vejamos duas versões desse princípio, uma para áreas e outra para volumes.

Princípio de Cavalieri para áreas. Sejam R e S regiões limitadas de um plano, e seja r uma reta desse plano. Suponha que, para toda reta s paralela a r, as interseções de R e S com s sejam vazias ou segmentos tais que a razão entre seus comprimentos é constante. Então a razão entre as áreas de R e S é essa constante.
É possível demonstrar esse resultado desde que as regiões não sejam muito complicadas. Em particular, vale para discos e regiões elípticas. A ideia inicial da demonstração é simples: estamos “fatiando” as duas regiões. Se a quantidade de fatias for fi nita e se cada fatia de uma região tiver área sempre na mesma razão que a fatia correspondente da outra região, então somamos as áreas das fatias de cada região e obtemos o resultado. A dificuldade é que, no Princípio de Cavalieri, as “fatias” são segmentos. Portanto, não têm área, mas comprimentos, e sua quantidade é infi nita. Assim, para a demonstração, precisamos de uma técnica que permita obter a área de uma região através da soma dos comprimentos de infi nitos segmentos. Essa técnica é fornecida pela teoria de integração de funções reais, estudada nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral.

Princípio de Cavalieri para volumes. Sejam P e Q sólidos limitados, e seja um plano. Suponha