Campos Eletrotásticos

Campos Eletrostáticos Distribuição: Contínua de Carga Para uma distribuição contínua de carga, temos a fórmula de Coulomb para o campo E
∫ dq

com ~R = r − r′ . Dependendo da dimensionalidade do sistema, ou da simetria da distribuição de carga, podemos ter:
1D: dq = λ(r′) dl′ Para uma distribuição de carga tridimensional:
Para uma superfície carregada:

Portanto, se conhecermos ρ(r) em todo espaço podemos calcular os campos φ e E utilizando a fórmula de Coulomb

qi r − ri
Mas raramente essa situação ocorre na prática. Por exemplo, devemos levar em conta efeitos de polarização em meios materiais
Lei de Gauss: Calculamos o fluxo do campo E através da superfície fechada S

Consideremos o caso de uma superfície esférica com centro na origem. Se existe uma partícula de carga q no centro de S, temos para o fluxo∮

dΩ = q

onde n aponta para fora de S e r · n = 1. Usando o princípio da superposição, generalizamos o resultado (3.4) para ∮

onde Qint indica toda a carga contida no interior de S. As cargas externas não contribuem para ΦE.
Divergência do vetor ~E A fórmula de Gauss associa o fluxo ΦE à carga em um certo volume macroscópico V

A mesma relação pode ser estabelecida localmente por meio de operadores diferenciais. Para uma superfície fechada infinitesimal (∆S) em torno do ponto ~P temos

onde admitimos que ρ(r) é constante no volume infinitesimal V. Portanto, localmente a densidade de carga está associada ao campo pela equação

lim
Mas, para qualquer vetor ~v atualizado em June 4, 2012 21 ou seja, div ~v(r) = fluxo de ~v no ponto r por unidade de volume. Portanto, na forma local (diferencial), a fórmula de Coulomb para o campo E torna-se

escrita numa representação independente do sistema de coordenadas.
=⇒ Representação de div nos sistemas de coordenadas:
Em coordenadas cartesianas

∂z Operador vetorial
Em coordenadas cilíndricas

∂z Ez
Em coordenadas esféricas

r senθ ∂Eϕ

=⇒ Exemplo importante: Divergente