Campo Vetorial

1
1.1

Noções de cálculo vetorial
Campo vetorial

Um campo vetorial num plano é uma função que a cada ponto deste plano associa um vetor. Tal campo pode ser usado, por exemplo, para descrever o comportamento de um ‡uido, um campo eletromagnético etc. Em coordenadas cartesianas um campo F pode ser dado por suas componentes
F (x; y; x) = Fx (x; y; x) x
^ + Fy (x; y; x) y
^ + Fz (x; y; x) ^ z: Por exemplo, campo
F = (3x

y) i + (x + 5y) j

que tem a forma

Figura 1

1.2

Fluxo

Um conceito importante no estudo da dinâmica de um ‡uido é o conceito de
‡uxo através de uma área.
Imagine um pequeno quadrado inserido dentro de um ‡uido. Obviamente o ‡uxo através deste quadrado depende da orientação do quadrado. Se ele for colocado com a sua normal paralelo a velocidade o ‡uxo, i.e., a quantidade de
‡uído por unidade de tempo que atravessa este quadrado vale
=

1
(v:dt:a) = v:a dt enquanto se ele for colocado perpendicular a velocidade do ‡uido não haverá
‡uxo. Este resultado pode ser resumido como
= F:a: cos = F:a
1

Obsreve que o ‡uxo através de uma área é um escalar.
Imagine agora que você deseja calcular o ‡uxo através de uma superfície fechada (um balão). Para fazer isso podemos primeiro dividir esta superfície em vários quadradinhos e usar o conceito acima para calcular o ‡uxo através de cada um destes quadrados. Como queremos saber se há ‡uido entrando ou saindo do balão, damos um valor positivo para a normal de cada área que aponta para fora do balão e negativo para a que aponta pra dentro. Chamamos isso de orientar as áreas.

Figura retirada do Simmons, Cálculo com Geometria Analítica
O ‡uxo total pelo balão será
=

X

F: ai

Z

F:da

i

No limite de ai ! 0, temos

=

esta é uma integral de superfície de um campo vetorial F . Ou seja, a integral de superfície de F sobre uma superfície S signi…ca apenas dividir S em pequenas partes, cada uma representada por um vetor orientado para fora de S e