Calculo

Funções de duas variáveis
4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos

Definição 1: Chamamos de função real com n variáveis a uma função do tipo f : D → R com D ⊂ Rn = R × · · · × R. Ou seja, uma função cujo domínio D (ou D(f )) é um subconjunto de Rn e seu contradomínio é R. Exemplo: 1. f : R2 → R, (x, y) → 2x + 3y D = R, é uma função real de duas variáveis (é também uma função linear). 2. f : R3 → R, (x, y, z) → x2 + 3y + z D = R3 , é uma função real de três variáveis (é também uma função polinomial) 3. f : R3 − {(0, 0, 0)} → R, (x, y, z) → 2x + y2 + z2 D = R3 −{(0, 0, 0)} ⊂ R3 é uma função real de três variáveis (é também uma função x2 racional, isto é, quociente de duas funções polinomiais).

Usamos, também, a notação ( mais resumida) para representar funções reais de n variáveis; y = f (x1 , · · · , xn ) Neste caso D(f ) é o conjunto D(f ) = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn ; f (x1 , · · · , xn ) ∈ R} 40

4.2

Domínio - Representação Gráfica

Exemplo : Determine e represente geometricamente os domínios das funções

Representação gráfica y
1. f (x, y) = 3x2 + 1 D(f ) = R2

O

x

3x2 − 1 2. f (x, y) = 2 x + y2 + 1 x2 + y 2 + 1 = 0, não tem solução, logo D(f ) = R2 . Representação gráfica: Figura 1 3x2 + y 3. f (x, y) = 2 x + y2 x2 + y 2 = 0. Como x2 ≥ 0 e y 2 ≥ 0 então ⇔ x = 0 e y = 0. x2 + y 2 = 0 ⇔ x2 = 0 e y 2 = 0

Figura 1

Representação gráfica y

O

x

Logo D(f ) = R2 − {(0, 0)}.

Representação gráfica
4. f (x, y) = x x−y D(f ) = {(x, y) ∈ R2 ; x − y = 0},
3

y y = x

ou seja, todo o plano exceto a 1a bissetriz.

O

x

41

Representação gráfica y
2x + y 5. f (x, y) = √ 2 x −y D(f ) = {(x, y) ∈ R2 ; x2 > y}

y=

x2

O

x

Representação gráfica
6. f (x, y) = ln x−y y−1

y y=1 y = x

x−y >0 y−1 equivalente a x − y > 0 e y − 1 > 0 D(f ) = (x, y) ∈ R2 ; ou x − y < 0 ou y − 1 < 0.

O

x

7. f (x, y) = arcsec(x2 + y 2 ) D(f ) = {(x, y) ∈ R2 ; x2 +y 2 ≤ −1 ou x2 +y 2 ≥ 1}, nenhum (x, y) ∈ R2 ,
2