calculo
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18 de maio de 2013, 8h00, Duração: 1h40.Cálculo I: Gabarito 2a prova, Turmas R1, R2, OL.
1. (12pts) Uma corda de tamanho
L é cortada em dois pedaços (não necessariamente iguais), e cada pedaço é usado para
fazer um quadrado. Qual é o jeito de cortar a corda que maximiza/minimiza a soma das áreas dos dois quadrados?
Suponha que o primeiro pedaço de corda tenha comprimento
(x/4)2 .
O segundo pedaço tem comprimento
L − x,
x ∈ [0, L].
Logo, a área do primeiro quadrado é igual a
((L − x)/4)2 .
logo a área do segundo quadrado é igual a
Portanto,
a soma das áreas dos quadrados é dada por
A(x) =
Procuremos os extremos globais de
A
A
em
1
16
x2 + (L − x)2 ,
[0, L].
x ∈ [0, L] .(3pts)
x),
procuremos soluções de
1
1
16 (2x − 2(L − x)) = 8 (2x − L) (1pts). Logo, o único ponto crítico é
1
2
2
ponto é A(x∗ ) =
16 2(L/2) = L /32 (1pts).
Considerando os valores de o valor de
A
A
A em (0, L). Como
A (x) = 0. Mas A (x) =
Primeiro procuremos os pontos críticos de
é obviamente derivável (polinômio de segundo grau em
x∗ = L/2 (1pts).
O valor da área total nesse
1
1
A(0) = 16 L2 e A(L) = 16 L2 (2pts). Logo, comparando com global de A é atingido em x∗ e o máximo global em x = 0 e x = L.
na fronteira do intervalo:
no ponto crítico, vemos que o mínimo
a área total é máxima quando a corda inteira é usada para criar um quadrado só, e a área mínima é obtida cortando a corda em dois pedaços iguais (de tamanho L/2), e formando dois quadrados idênticos (cada um de lado
L/8) (4pts).
Isto é,
2. (15pts) Considere
f (x) = (x2 − 3)e−x .
Estude: o sinal, os zeros, as assíntotas (se tiver), a variação, e as posições dos
pontos de mínimos/máximos (locais, se tiver) no plano cartesiano. Em seguida, monte o grá co detalhado.
Os zeros de
f
são
√
− 3
e
√
+ 3.
Como
e−x > 0
para todo
x
e
x2 − 3 = (x −
√
3)(x +
√
3),
o sinal