calculo

C´lculo I - Lista 1 - Limites e Derivada a Equipe de Unifica¸ao - 2013.1 c˜ 1. Calcule os limites:
√
3 x−1 (a) limx→1 √ x−1 (b) limx→8

√
2+ 3x−2 x−8 (c) limx→1

√
4
x−1
√
5 x−1 2. Existe um n´mero a tal que u 3x2 + ax + a + 3 x→−2 x2 + x − 2 lim exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
3. Se f (x) = [[x]] + [[−x]], mostre que limx→2 f (x) existe, mas n˜o ´ igual a f (2). a e
4. Na Teoria da Relatividade, a F´rmula da Contra¸ao de Lorentz o c˜
1 − v 2 /c2

L = L0

expressa o comprimento L de um objeto como uma fun¸˜o de sua velocidade v em ca rela¸ao a um observador, onde L0 ´ o comprimento do objeto no repouso e c ´ a c˜ e e − L e interprete o resultado. Por que ´ necess´rio o velocidade da luz. Encontre limv→c e a limite ` esquerda? a √
5. Prove que limx→0+ xesen(π/x) = 0.
6. Demonstre que a fun¸˜o ca f (x) =

x4 sen (1/x) ,
0,

se x = 0 se x = 0

´ cont´ e ınua em (−∞, ∞) .
7. Encontre os valores de a e b que tornam f cont´ ınua em toda parte.

x2 − 4



, se x < 2 x−2 f (x) =
2
se 2 ≤ x < 3
 ax − bx + 3,


2x − a + b, se x ≥ 3
8. A acelera¸ao devida a gravidade G varia com a altitude em rela¸ao a superf´ terrestre. c˜ c˜ ` ıcie G ´ fun¸ao de r (a distˆncia do centro da Terra) e, ´ dada por: e c˜ a e

 gM r

, r 5.
12. (a) Esboce o gr´fico da fun¸ao f (x) = x |x| a c˜
(b) Para que valores de x f ´ diferenci´vel? e a
(c) Encontre uma f´rmula para f . o √
13. Seja f (x) = 3 x.
(a) Se a = 0, encontre f (a)
(b) Mostre que f (0) n˜o existe. a 14. Encontre uma fun¸ao f e um n´mero a tais que c˜ u
(2 + h)6 − 64
= f (a) h→0 h lim 15. Se f for uma fun¸ao diferenci´vel e g(x) = xf (x), use a defini¸ao de derivada para c˜ a c˜ mostrar que g (x) = xf (x) + f (x).

Sugest˜es e respostas o 2
3
1
(b)
48
5
(c)
4

1. (a)

2. a = 15 e o limite ´ igual a −1. e 3. Lembre-se que o limite existe se, e somente se,